Рівняння Фоккера — Планка

Розпливання функції розподілу з часом

Рівня́ння Фо́ккера — Пла́нка — диференціальне рівняння в частинних похідних, що описує еволюцію функції розподілу випадкової величини.

Для одновимірної випадкової величини рівняння Фоккера — Планка має загальний вигляд

${\frac {\partial P}{\partial t}}=\left[-{\frac {\partial }{\partial x}}D^{(1)}(x)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}D^{(2)}(x)\right]P$,

де $P(x,t)$ — функція розподілу випадкової величини, $D^{(1)}(x)$ називається дрейфовим коефіцієнтом, а $D^{(2)}(x)$ — дифузійним коефіцієнтом.

Наприклад, у випадку броунівського руху вздовж прямої рівняння Фоккера — Планка для функції розподілу частинок за швидкостями має вигляд:

${\frac {\partial P}{\partial t}}=-\gamma {\frac {\partial (vP)}{\partial v}}+\gamma {\frac {k_{B}T}{m}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial v^{2}}}$,

де $v$ — швидкість броунівської частки, $m$ — її маса, $k_{B}$ — стала Больцмана, T — температура, $\gamma$ — коефіцієнт в'язкості, розділений на масу частки.

Дифузійний і дрейфовий коефіцієнти можна отримати, розглядаючи відповідне рівняння Ланжевена.

Див. також

• Рівняння Смолуховського

Література

• Гардинер К. В. Стохастические методы в естественных науках. — М. : Мир, 1986. — 528 с.
• ван Кампен Н. Г. Стохастические процессы в физике и химии. — М. : Высшая школа, 1990. — 376 с.
• Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. — М. : Мир, 1974. — 37 с.
• Хакен Г. Синергетика. — М. : Мир, 1980. — 406 с.
• Risken H. The Fokker-Planck Equation. — Berlin : Springer-Verlag, 1984.