Континуанта (математика)

В алгебрі, континуанта —це многочлен, що представляє визначник тридіагональної матриці і застосовується в узагальнених неперервних дробах.

Означення

n-а континуанта $K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$ рекурсивно визначається так

$K_{0}=1;\,$

$K_{1}(x_{1})=x_{1};\,$

$K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=x_{n}K_{n-1}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})+K_{n-2}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-2}).\,$

Властивості

• Континуанту $K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})$ можна обчислити взявши суму всіх можливих добутків x₁,...,x_n, в яких вилучена будь-яка кількість неперетинних пар послідовних елементів (Правило Ейлера). Наприклад,

  $K_{5}(x_{1},\;x_{2},\;x_{3},\;x_{4},\;x_{5})=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{3}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{4}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{5}\;+\;x_{1}x_{2}x_{3}\;+\;x_{1}\;+\;x_{3}\;+\;x_{5}.$

З цього випливає, що континуанти інваріантні щодо обернення порядку невідомих: $K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=K_{n}(x_{n},\;\ldots ,\;x_{1}).$

• Континуанту можна обчислити як визначник тридіагональної матриці:

  $K_{n}(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=\det {\begin{pmatrix}x_{1}&1&0&\cdots &0\\-1&x_{2}&1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&-1&x_{n}\end{pmatrix}}.$

• $K_{n}(1,\;\ldots ,\;1)=F_{n+1}$, це (n+1)-ше число Фібоначчі.
• ${\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=x_{1}+{\frac {K_{n-2}(x_{3},\;\ldots ,\;x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}.$
• Співвідношення континуант представляє (підхідні дроби) неперервного дробу так:

  ${\frac {K_{n}(x_{1},\;\ldots ,x_{n})}{K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})}}=[x_{1};\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n}]=x_{1}+{\frac {1}{\displaystyle {x_{2}+{\frac {1}{x_{3}+\ldots }}}}}.$

• Виконується така матрична тотожність:

  ${\begin{pmatrix}K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\\K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})&K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&1\\1&0\end{pmatrix}}\times \ldots \times {\begin{pmatrix}x_{n}&1\\1&0\end{pmatrix}}$.

  • Для визначників це означає, що

    $K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n-2}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n-1})-K_{n-1}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n-1})\cdot K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})=(-1)^{n}.$

  • і також

    $K_{n-1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+2}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n+2})-K_{n}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\cdot K_{n+1}(x_{2},\;\ldots ,\;x_{n+2})=(-1)^{n+1}x_{n+2}.$

Узагальнення

Узагальнене визначення визначає континуанту за допомогою трьох послідовностей a, b і c, так що K(n) є многочленом від a₁,...,a_n, b₁,...,b_n−1 і c₁,...,c_n−1. Тут рекурентне співвідношення набуває вигляду

$K_{0}=1;\,$

$K_{1}=a_{1};\,$

$K_{n}=a_{n}K_{n-1}-b_{n-1}c_{n-1}K_{n-2}.\,$

Оскільки b_r і c_r входять в K лише як добуток b_rc_r, то без втрати загальності можна вважати, що всі b_r рівні 1.

Узагальнена котинуанта є визначником тридіагональної матриці

${\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}&0&\ldots &0&0\\c_{1}&a_{2}&b_{2}&\ldots &0&0\\0&c_{2}&a_{3}&\ldots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\ldots &a_{n-1}&b_{n-1}\\0&0&0&\ldots &c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}}.$

References

• Thomas Muir (1960). A treatise on the theory of determinants. Dover Publications. с. 516—525.
• Cusick, Thomas W.; Flahive, Mary E. (1989). The Markoff and Lagrange Spectra. Mathematical Surveys and Monographs. Т. 30. Providence, RI: American Mathematical Society. с. 89. ISBN 0-8218-1531-8. Zbl 0685.10023.
• George Chrystal (1999). Algebra, an Elementary Text-book for the Higher Classes of Secondary Schools and for Colleges: Pt. 1. American Mathematical Society. с. 500. ISBN 0-8218-1649-7.