Характеристичний поліном

Характеристичний поліном квадратної матриці $A$ (розміру $\ n\times n$) — це поліном одної змінної $\lambda ,$ який дорівнює

$\ p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A).$

Неважко переконатися, що

$p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}-\operatorname {tr} A\lambda ^{n-1}+\ldots +(-1)^{n}\det A,$.

Зокрема, видно, що це поліном степені $\ n.$

Характеристичне рівняння

Характеристичним або секулярним рівнянням називається рівняння

$\ p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)=0$

Корені характеристичного полінома називаються характеристичними числами матриці $A.$

По теоремі Гамільтона-Келі вони і тільки вони є власними значеннями матриці $A.$