Теорема про частку

Теорема про частку — твердження про те, що якщо результат множення вектора на величину з довільним числом верхніх і нижніх індексів є тензором для будь-якого вектора, то величина з верхніми і нижніми індексами є тензором.

Формулювання

Нехай величина $P_{\lambda \mu \nu }$ така, що для будь-якого вектора $A^{\nu }$ величина $A^{\lambda }P_{\lambda \mu \nu }$ є тензором. У цьому випадку величина $P_{\lambda \mu \nu }$ є тензором.

Доведення

Розглянемо перетворення від старої криволінійної системи координат, де вектор має координати $x^{\mu }$ до нової системи координат, де цей же вектор має координати $x^{\mu '}$ . Домовимося позначати ${\frac {\partial x^{\mu '}}{\partial x^{\nu }}}=x_{,\nu }^{\mu '}$ . Позначимо величину $Q_{\mu \nu }=A^{\lambda }P_{\lambda \mu \nu }$ . За умовою, $Q_{\mu \nu }$ є тензор, тому $Q_{\beta \gamma }=Q_{\mu '\nu '}x_{,\beta }^{\mu '}x_{,\gamma }^{\nu '}$ . Тоді $A^{\alpha }P_{\alpha \beta \gamma }=A^{\lambda '}P_{\lambda '\mu '\gamma '}x_{,\beta }^{\mu '}x_{,\gamma }^{\nu '}$ . Так як $A^{\lambda }$ є вектором, за правилами перетворення векторів маємо: $A^{\lambda '}=A^{\alpha }x_{,\alpha }^{\lambda '}$ . Таким чином: $A^{\alpha }P_{\alpha \beta \gamma }=A^{\alpha }x_{,\alpha }^{\lambda '}P_{\lambda '\mu '\nu '}x_{,\beta }^{\mu '}x_{,\gamma }^{\nu '}$ Ця рівність має бути вірнрю для всіх $A^{\alpha }$ , отже $P_{\alpha \beta \gamma }=P_{\lambda '\mu '\nu '}x_{,\alpha }^{\lambda '}x_{,\beta }^{\mu '}x_{,\gamma }^{\nu '}$ . Величина $P_{\alpha \beta \gamma }$ є тензором. Доведення неважко узагальнити на будь-яке число верхніх і нижніх індексів^[1].