Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Приклад Адамара ілюструє можливість некоректної постановки класичної задачі Коші .
Розглянемо наступну задачу Коші для рівняння Лапласа :
u
t
t
(
x
,
t
)
=
−
u
x
x
(
x
,
t
)
,
t
>
0
{\displaystyle u_{tt}(x,t)=-u_{xx}(x,t),~t>0}
;
u
∣
t
=
0
=
0
,
u
t
∣
t
=
0
=
1
k
sin
k
x
{\displaystyle u\mid _{t=0}=0,~~u_{t}\mid _{t=0}={\frac {1}{k}}\sin {kx}}
.
Тоді нескладно показати, що розв'язком такого рівняння буде функція:
u
k
(
x
,
t
)
=
sh
k
t
k
2
sin
k
x
{\displaystyle u_{k}(x,t)={\frac {\operatorname {sh} \,kt}{k^{2}}}\sin {kx}}
.
При
k
→
+
∞
{\displaystyle k\rightarrow +\infty }
видно, що
1
k
sin
k
x
⇉
0
{\displaystyle {\frac {1}{k}}\sin {kx}\rightrightarrows 0}
по
x
{\displaystyle x}
; звідси, розв'язок також повинен прямувати до нуля. Однак, у загальному випадку, коли
x
≠
π
n
,
n
=
0
,
±
1
,
…
,
u
k
(
x
,
t
)
↛
0
,
k
→
∞
{\displaystyle x\neq \pi n,n=0,\pm 1,\dots ,u_{k}(x,t)\not \to 0,~k\rightarrow \infty }
. Тому, непервної залежності від початкових умов немає, і відповідно, задача поставлена некоректно.
Див. також
Література
Соболев С. Л. Уравнения математической физики. — Любое издание.
Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-X
Посилання