Рівняння Лапласа

Рівня́ння Лапла́са — однорідне лінійне рівняння в часткових похідних другого порядку еліптичного типу.

$\Delta u=\nabla ^{2}u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=0$.

Функції, які задовольняють рівнянню Лапласа, називаються гармонічними.

Відповідне неоднорідне рівняння називається рівнянням Пуассона.

Інші форми запису рівняння Лапласа

В циліндричних координатах:

$\Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.$

Виведення

Циліндричні і прямокутні координати пов'язані так

$x=r\cos(\theta ),y=r\sin(\theta ),z=z.$

Ми також можемо записати

$x^{2}+y^{2}=r^{2}$

і

$\theta =\tan ^{-}1\left({\frac {y}{x}}\right).$

Припустимо, $u(x,y,z)$ є неперервною з неперервними першою і другою частковими похідними в деякій області $R.$ Ми також можемо думати про $u$, як про функцію від $r,\theta ,z.$ З ланцюгового правила і попередніх рівнянь, ми отримуємо

${\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial \theta }}{\frac {\partial \theta }{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial x}}$

$={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}$

$={\frac {x}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}-{\frac {y}{r^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}.$

Тут ми скористались тим, що $x$ і $z$ незалежні, і записали ${\frac {\partial z}{\partial x}}=0.$

Подібно

${\frac {\partial u}{\partial y}}={\frac {y}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {x}{r^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial \theta }}.$

Щоб обчислити другу похідну, диференціюємо далі відповідно щодо $x$ і $y.$

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}={\frac {\partial u}{\partial r}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {x}{r}}\right)-{\frac {\partial u}{\partial \theta }}{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {y}{r^{2}}}\right)+{\frac {x}{r}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {y}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial u}{\partial \theta }}\right).$

Зауважимо, що $u'_{x\theta }=u'_{\theta x}.$ Тоді, застосовуючи ланцюгове правило щодо двох останніх доданків, отримуємо

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=.$

У сферичних координатах:

${1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}=0.$

Застосування у фізиці

• Рівняння Лапласа описує електростатичне поле в просторі без електричних зарядів.
• Рівнянням Лапласа описується стаціонарний розподіл температури у просторовому тілі.
• Рівнянню Лапласа задовольняє потенціал гравітаційних хвиль на поверхні рідини.

Див. також

• Оператор Лапласа
• Градієнт

Посилання

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1400+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Либідь, 1994. — 304 с. — ISBN 5-325-00351-X.(укр.)
• М.І.Жалдак, Г.О.Михалін, С.Я.Деканов. Математичний аналіз. Функції багатьох змінних: Навчальний посібник. — К. : НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. — 430 с.(укр.)
• E.T. Whittaker, G. N. Watson. A Course of Modern Analysis. — 5th. — Cambridge, 1902,1927. — 668 с.(англ.)
• Weisstein, Eric W. Рівняння Лапласа(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.