Вектор Шеплі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Вектор Шеплі — принцип оптимальності розподілу виграшу між гравцями в задачах теорії кооперативних ігор. Являє собою розподіл, в якому виграш кожного гравця дорівнює його середньому вкладу в виграш великої коаліції при певному механізмі її формування.

Формальне означення

Для кооперативної гри розглянемо деяке впорядкування множини всіх гравців . Позначимо через підмножину, яка містить перших гравців в даному впорядкуванні. Вкладом '-го гравця назвемо величину , де  — характеристична функція кооперативної гри.

Вектором Шеплі кооперативної гри називається такий розподіл виграшу, що кожний гравець отримує математичне сподівання свого вкладу в відповідні коаліції Ki, при рівноймовірному винекненні впорядкувань :

де  — кількість гравців,  — множина впорядкувань множити гравців  — розподіл виграшу в якому гравець, що стоїть на місці у впорядкуванні , отримує свій вклад в коаліцію (точка Вебера).

Більш розповсюджена формула для обчислення вектора Шеплі, яка не потребує знаходження точок Вебера, має вигляд:

де  — кількість гравців,  — кількість учасників коаліції .

Аксіоматика вектора Шеплі

Вектор Шеплі задовольняє наступним властивостям:

1. Лінійність. Відображення є лінійним оператором, тобто для будь-яких двох ігор з характеристичними функціями і :

і для будь-якої гри з характеристичною функцією і для будь-якого :

2. Симетричність. Виграш, який отримує гравець не залежить від його номера. Це означає, що якщо гра отримана з гри перестановкою гравців, то її вектор Шеплі є вектор з відповідним чином переставленими елементами.

3. Аксіома бовдура. В теорії кооперативних ігор бовдуром називається гравець, який не вносить вклад ні в одну з коаліцій, тобто гравець такий, що для будь-якої коаліції , яка містить виконується: .

Аксіома бовдура полягає в тому, що якщо гравець  — бовдур, то .

4. Ефективність. Вектор Шеплі дозволяє повністю розділити виграш великої коаліції, тобто сума компонент вектора рівна .

Теорема Шеплі. Для будь-якої коопертивної гри існує єдиний розподіл виграшу, який задовольняє аксіомам 1 — 4.

Див. також

Література

  • Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр — СПб: БХВ-Петербург, 2012, 432 с.
  • Воробьев Н. Н. Теория игр для экономистов-кибернетиков — М.: Наука, 1985
  • Печерский С. Л., Яновская Е. Б. Кооперативные игры: решения и аксиомы — Изд-во Европейского ун-та в С.-Петербурге, 2004, 459 с.