Умовний екстремум

Нехай ${G\subset R^{n}}$ - відкрита множина і на G задані функції $y_{i}=f_{i}({\bar {x}}),{\bar {x}}\in G,i=1,2,..,m$. Позначимо через $E\subset G$ таку, що

$\forall {\bar {x}}\in E=\lbrace {\bar {x}}\in G|f_{i}({\bar {x}})=0,i=1,2,..,m\rbrace ~~f_{i}({\bar {x}})=0,i=1,2,..,m$ - рівняння зв’язку.

Визначення

Нехай на G визначена функція $y=f_{0}({\bar {x}})$. Точка ${\bar {x}}_{0}\in E$ називається точкою умовного екстремуму функції $y=f_{0}({\bar {x}})$ відносно рівнянь зв'язку, якщо вона є точкою звичайного екстремуму $f_{0}({\bar {x}})$ на множині E ( розглядаються околи $U_{E}({\bar {x}}_{0})\bigcap E$ ).

Метод множників Лагранжа для розв’язання задачі умовного екстремуму

Теорема

Нехай ${\bar {x}}_{0}$ - точка умовного екстремуму функції $f_{0}({\bar {x}})$ при виконанні рівнянь зв’язку. Тоді в цій точці ${\bar {x}}_{0}$ градієнти $\nabla f_{i},i=0,1,..,m$ є лінійно залежні, тобто $\exists \lambda _{i},i=0,1,..,m:\sum _{i=0}^{m}|\lambda _{i}|\neq 0$ але $\sum _{i=0}^{m}\lambda _{i}\nabla f_{i}={\bar {0}}$.

Наслідок

Якщо ${\bar {x}}_{0}$ - точка умовного екстремуму функції $f_{0}({\bar {x}})$ відносно рівнянь зв’язку, то $\exists \lambda _{1},..,\lambda _{m}$ такі, що в точці ${\bar {x}}_{0}~~\nabla f_{0}+\lambda _{1}\nabla f_{1}+..+\lambda _{m}f_{m}={\bar {0}}$ або в координатному вигляді ${\frac {\partial f_{0}}{\partial x_{1}}}({\bar {x}}_{0})+\lambda _{1}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}({\bar {x}}_{0})+..+\lambda _{m}{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}({\bar {x}}_{0})=0$.

Достатня умова умовного екстремуму

Нехай ${\bar {x}}_{0}$ є стаціонарною точкою функції Лагранжа $L({\bar {f}},{\bar {\lambda }},{\bar {x}})$ при $\lambda ={\bar {\lambda }}_{0}$. Якщо $d^{2}L({\bar {x}}_{0}$ - від'ємно (додатнью) визначена квадратична форма змінних $dx_{1},..,dx{n}$ при умові $df_{1}({\bar {x}}_{i}=0,i=1,..,m$, то ${\bar {x}}_{0}$ є точкою max (min для додатньо визначенної) умовного екстремуму. Якщо вона за цих умов не є знаковизначенною, тоді екстремуму немає.

Див. також

• Класична задача на умовний екстремум
• Екстремум