Перегляд вихідного коду сторінки Інтерпретація (логіка)

'''Інтерпретація''' ({{lang-la|interpretatio}}&nbsp;— тлумачення, роз'яснення)&nbsp;— призначення змісту [[Формальний символ|символам]] [[Формальна мова|формальної мови]]. Тобто, це є сукупність значень (сенсів), що приписуються тим або іншим способом елементам (виразам, формулам, символам і&nbsp;т.&nbsp;д.) якої-небудь природничо-наукової або абстрактно-дедуктивної теорії.

Багато формальних мов, які використовуються в математиці, [[Логіка|логіці]] та у теоретичній інформатиці визначені у виключно синтаксичних термінах, і як такі не мають ніякого значення, поки вони не дають деяку інтерпретацію. Загальне вивчення інтерпретацій формальних мов називається ''логічна семантика.''<ref>{{Cite web|url=http://vseslova.com.ua/word/Логічна_семантика-58669u|title=Логічна семантика - значення слова, визначення слова, слово означає {{!}} VseslovA|website=vseslova.com.ua|accessdate=2016-10-07|archive-date=10 жовтня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20161010054941/http://vseslova.com.ua/word/Логічна_семантика-58669u}}</ref> Найчастіше вивчаються елементи формальної логіки&nbsp;— [[Логіка предикатів|логіки предикатів]] і їх модальні аналоги, і для них існують стандартні способи подання інтерпретації. У цих контекстах інтерпретація є функцією, яка забезпечує розширення символів і рядків символів об'єктної мови.

== Формальна мова ==
{{Основна стаття|Формальна  мова}}
Формальна мова складається з фіксованого збору пропозицій (також називають слова або формули, в залежності від контексту), що складається з фіксованого набору букв або символів. Інвентаризації, з якої взято ці букви називають [[Абетка (інформатика)|абетка]] по якому визначається мова. Для того, щоб відрізнити рядки символів, які знаходяться в формальній мові від довільних рядків символів, використовують правильно побудовану формулу<ref>{{Cite web|url=http://lubbook.org/book_235_glava_7_Tema_3._Osnovnі_zakoni_logіk.html|title=|last=|first=|date=|website=osvita.125mb.com|publisher=|language=|accessdate=2016-10-07|archive-date=10 жовтня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20161010070643/http://lubbook.org/book_235_glava_7_Tema_3._Osnovnі_zakoni_logіk.html}}</ref> (ППФ). Суттєвою особливістю формальної мови є те, що її синтаксис може бути визначений без звернення до інтерпретації. Наприклад, ми можемо визначити, що (P або Q) є добре правильно побудованою формула, навіть не знаючи, чи є воно істинним або хибним.

=== Приклад ===
Формальна мова <math>W</math> може бути визначена з алфавіту α = { <math>\bigtriangleup</math>, <math>\Box</math> }, і слово, перебуваючи в <math>W</math> , яке починається з <math>\bigtriangleup</math> то воно відноситься виключно до символів <math>\bigtriangleup</math> та <math>\Box</math> .

Можлива інтерпретація <math>W</math> можемо призначити десяткову цифру '1' до <math>\bigtriangleup</math> та '0' до <math>\Box</math> . Тоді <math>\bigtriangleup</math><math>\Box</math><math>\bigtriangleup</math> позначатиме 101 при такій інтерпретації <math>W</math>.

=== Логічні константи ===
У конкретних випадках [[Логіка висловлювань|логіки висловлювань]] і [[Логіка предикатів|логіки предикатів]], формальні мови вважаються абетками, які розділені на дві групи: логічні символи( [[Логічна константа|логічні константи]] )<nowiki/>і нелогічні символи. Ідея, що лежить в цій термінології є те, що логічні символи мають те ж значення, незалежно від предмета, що вивчається, в той час як нелогічні символи змінюються в значенні в залежності від області дослідження. Логічні константи завжди дають один і той же зміст кожної інтерпретації стандартного виду, так що тільки значення нелогічних символів змінюються. Логічні константи включають кванторні символи ∀ («все») і ∃ («деякі»), символи для [[Логічний сполучник|логічних сполучників]] ∧ («і»), ∨ («або»), ¬ («ні»), круглі дужки і інші угруповання символів(і (у багатьох обробок) дорівнюють знаку рівності =).

== Загальні властивості істино-функціональних інтерпретацій ==
Багато з широко вивчених інтерпретацій асоціюють кожне речення на формальній мові з одним значенням істини: істинним або хибним. Ці інтерпретації називаються істино-функціональні. Вони включають в себе звичайні інтерпретації висловлювання та [[Логіка першого порядку|логіки першого порядку]] . Пропозиції, які зроблені вірно конкретним призначенням, повинні бути задоволені цим завданням.

Жодна пропозиція не може бути і істинним і хибним тієї ж інтерпретації, але цілком можливо, що значення істинності тієї ж пропозиції може бути різним у різних інтерпретаціях. Якщо судження відповідає то воно несуперечливе та істинне, (принаймні одна інтерпретація), в іншому випадку вона не відповідає та не істинне. Пропозиція φ називається логічно дійсним, якщо вона задовольняє будь-якій інтерпретації (якщо φ задовольняє будь-якій інтерпретації, яка задовольняє <math>\psi</math>, то φ, як кажуть, є логічним наслідком <math>\psi</math>).

=== Логічні зв'язки ===
''Докладніше:'' [[Логічний сполучник|Логічні зв'язки ]]

Деякі з логічних символів мови (крім [[Квантор|кванторів]]) [[Логічний сполучник|істинні функціональні зв'язки]], які представляють функції істинності, які приймають значення істинності як аргументи і значення істинності як виходи (іншими словами, ці операції над значеннями істинності пропозицій). Насправді функціональні зв'язки дають змогу складним реченням будуватися з більш простих речень. Таким чином, значення істинності складного речення визначається як деяка функція істинності значень істинності більш простих речень. Зв'язки зазвичай беруться як логічні константи, а це означає, що значення зв'язків завжди однакове, незалежно від того, що інтерпретації даються іншими символами в формулі.

Це, як ми визначаємо логічні зв'язки в логіці висловлювань:
* '''¬Φ''' вірна тоді і тільки тоді коли '''Φ''' є хибним.
* '''(Φ ∧ Ψ)''' істинно тоді і тільки тоді коли '''Φ''' істинна і '''Ψ''' є теж істинне
* ('''Φ ∨ Ψ)''' істинно тоді і тільки тоді '''Φ''' є істинним або '''Ψ''' є істинне (або обидва є істинними).
* '''(Φ → Ψ''') істинно тоді і тільки тоді '''¬Φ''' є істинним або '''Ψ''' є істинне (або обидва є істинними).
* '''(Φ ↔ Ψ)''' істинна тоді і тільки тоді '''(Φ → Ψ)''' істинно і '''(Ψ → Φ)''' є істинне
Таким чином, при даній інтерпретації все присуджують буквам '''Ф''' і '''Ψ''' (тобто після присвоєння значення істинності для кожної пропозиції літери), ми можемо визначити істинність значення всіх формул, які мають їх як складові частини, в залежності від логічного зв'язку. У наступній таблиці показано, як це виглядає. Перші дві колонки показують значення істинності букв, які визначено з чотирьох можливих інтерпретацій. Інші колонки показують значень істинності формул, побудованих з цих членів речення за допомогою букв. Де F ({{lang-en|false}})&nbsp;— хибне значення, а T ({{lang-en|true}})&nbsp;— істинне.
{| class="wikitable"
|+Логічні зв'язки
!Інтерпретація
!Φ
!Ψ
!¬Φ
!(Φ ∧ Ψ)
!(Φ ∨ Ψ)
!(Φ → Ψ)
!(Φ ↔ Ψ)
|-
|№&nbsp;1
|T
|T
|F
|T
|T
|T
|T
|-
|№&nbsp;2
|T
|F
|F
|F
|T
|F
|F
|-
|№&nbsp;3
|F
|T
|T
|F
|T
|T
|F
|-
|№&nbsp;4
|F
|F
|T
|F
|F
|T
|T
|}
Тепер легше побачити, що робить формулу логічно справедливою. Візьмемо формулу F: (Φ ∨ ¬Φ). Якщо наша функція інтерпретації робить Ф істинно, то ¬Φ робиться хибним. Так як заперечний Φ з хибним значенням дає істинну при цій інтерпретації, F&nbsp;— істинне. Тепер єдина інша можлива інтерпретація Ф дає значення False, і якщо так, то ¬Φ робить T функцію запереченням. Це зробило F знову істинним, так як один з F диз'юнктив, ¬Φ, був би істинним, в рамках цієї інтерпретації. Так як дві інтерпретації для F є єдиними можливими логічної інтерпретації, і так як F виходить вірно для обох виразів, ми говоримо, що F є дійсним або тавтологічним.

== Інтерпретації для пропозиційної логіки ==
Формальна мова для [[Числення висловлень|пропозиційної логіки]] складається з формул, побудованих з пропозиційних<ref>{{Cite web|url=http://techtrend.com.ua/index.php?newsid=26005770|title=Пропозіціональная формула - Енциклопедія TechTrend|website=techtrend.com.ua|accessdate=2016-10-12|archive-date=13 жовтня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20161013082313/http://techtrend.com.ua/index.php?newsid=26005770}}</ref> символів (також званих пропозиційних символів, сентенціальних змінних і пропозиційних змінних) і логічними зв'язками. Тільки нелогічні символи<ref>{{Cite web|url=http://um.co.ua/9/9-13/9-136070.html|title=Лекція №15. - реферати та навчальні матеріали на um.co.ua|website=um.co.ua|accessdate=2016-10-07|archive-date=10 жовтня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20161010063810/http://um.co.ua/9/9-13/9-136070.html}}</ref> на формальній мові для логіки висловлювань є пропозиційними символами, які часто позначаються великими літерами. Для того, щоб зробити формальну мову точніше, конкретний набір пропозиційних символів повинен бути закріплений. Стандартний вид інтерпретації в зв'язку з цим є функція, яка відображає кожен символ пропозиційний один до одного із [[Значення істинності|значень істинності]] істинне та хибне Ця функція називається ''привласнення істинності'' або ''функції оцінки''. Для мови з <math>n</math> різних пропозиційних змінних існує 2<math>n</math> різних можливих інтерпретацій. Для будь-якої конкретної змінної <math>A</math>, наприклад, існує <math>2^1</math> = 2 можливі інтерпретації: 1) <math>A</math> призначається '''T''', 2) <math>A</math> призначається '''F'''. Для пари <math>A</math> та <math>B</math> існує <math>2^2</math> = 4 можливі інтерпретації: 1) обидва призначені '''Т''' , 2) обидва призначені '''F''', 3) <math>A</math> призначається '''Т''' і <math>B</math> призначається '''F''', 4) <math>A</math> призначається '''F''' і <math>B</math> призначається '''Т.'''

== Логіка першого порядку ==
На відміну від логіки висловлювань, де кожна мова є тим самим, крім вибору іншого набору пропозиційних змінних, існує безліч різних мов першого порядку. Кожна мова першого порядку визначається підписом<ref>{{Cite news|url=http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1148229|title=Сигнатура (математическая логика) - это... Что такое Сигнатура (математическая логика)?|work=Словари и энциклопедии на Академике|accessdate=2016-10-07|archive-date=9 жовтня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20161009173154/http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/1148229}}</ref>. Підпис складається з набору нелогічних символів і ідентифікації кожного з цих символів як постійного символу, символу функції або символу предиката. У разі функції предикатні символи та натуральне число [[Арність|арності]] також призначається. Алфавіт для формальної мови складається з логічних констант, ставлення рівності символ =, всі символи від підпису, а також додаткові безліч символів відомі як змінні. Наприклад, в [[Кільце (алгебра)|мові кілець]], є постійні символи 0 і 1, два функціональні символи бінарних + і&nbsp;— , і ніяких двійкових символів відносин. (Тут відношення рівності береться як логічна константа .)

Знову ж таки, ми можемо визначити мову першого порядку як '''L''', яка складається з окремих символів <math>a</math>, <math>b</math> і <math>c</math>; предикатні символи '''F''', '''G''', '''H,''' '''I''' і '''J'''; змінні <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math>; немає функції букв; немає сентенціальних символів.

=== Формальні мови для логіки першого порядку ===
З огляду на підпис <math>\sigma</math> , відповідна формальна мова відома як набір <math>\sigma</math>-формул. Кожна <math>\sigma</math>-формула будується з атомних формул за допомогою логічних зв'язок; атомарні формули будуються з термінів, використовуючи предикатні символи. Формальне визначення безлічі а-формул триває в іншому напрямку: по-перше, члени зібрані з постійних і функціональних символів разом зі змінними. Потім члени можуть бути об'єднані в атомарні формули, використовуючи символ предиката (символ відносини) від підпису або спеціального символу предиката "=" для рівності. Нарешті, формули мови зібрані з атомарних формул з використанням логічних зв'язок і кванторів.

== Див. також ==
* [[Вільні і зв'язані змінні]]
* [[Теорія моделей]]
* [[Логіка висловлювань]]
* [[Модальна логіка]]
* [[Теорія моделей]]

== Посилання ==
* [http://plato.stanford.edu/entries/logic-classical/#4 Stanford Enc. Phil: Classical Logic, 4. Semantics] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100710003913/http://plato.stanford.edu/entries/logic-classical/#4 |date=10 липня 2010 }}
* [http://mathworld.wolfram.com/FormalLanguage.html mathworld.wolfram.com: FormalLanguage] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190830103512/http://mathworld.wolfram.com/FormalLanguage.html |date=30 серпня 2019 }}
* [http://mathworld.wolfram.com/Connective.html mathworld.wolfram.com: Connective] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200628232553/https://mathworld.wolfram.com/Connective.html |date=28 червня 2020 }}
* [http://mathworld.wolfram.com/Interpretation.html mathworld.wolfram.com: Interpretation] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200626225129/https://mathworld.wolfram.com/Interpretation.html |date=26 червня 2020 }}
* [http://mathworld.wolfram.com/PropositionalCalculus.html mathworld.wolfram.com: Propositional Calculus] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210322135951/https://mathworld.wolfram.com/PropositionalCalculus.html |date=22 березня 2021 }}
* [http://mathworld.wolfram.com/First-OrderLogic.html mathworld.wolfram.com: First Order Logic] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210417032453/https://mathworld.wolfram.com/First-OrderLogic.html |date=17 квітня 2021 }}

== Примітки ==
{{примітки}}

== Джерела ==
* <big>[[Гаскелл Каррі|Haskell Curry]]</big> Основи математичної логіки. McGraw Hill. Тут: стор. 48
* Gottschalk v. Benson (1972), елементарна логіка, друге видання, Нью-Йорк: Oxford University Press, стор. 56, ISBN 0-19-501491-X
* Quine, W. V. (1954), «Кількісний і порожній домен», The Journal of Symbolic Logic, Association for Symbolic Logic, 19 (3): 177—179, doi:10.2307/2268615, JSTOR 2268615, MR 0064715
* Roland Müller (2009). «Поняття Моделі». In Anthonie Meijers. Philosophy of technology and engineering sciences. Handbook of the Philosophy of Science. 9. Elsevier. ISBN 978-0-444-51667-1.
* [[Рудольф Карнап|Rudolf Carnap]] (1958). Введення до символічної логіки та її застосування . New York: Dover publications. ISBN 9780486604534.
* Hans Freudenthal, ed. (Jan 1960). Поняття ролі і моделі в області математики і природничих наук і соціальних наук (Colloquium proceedings). Springer. ISBN 978-94-010-3669-6.
* Geoffrey Hunter (1992). Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic. University of California Press.
* Hailperin, Theodore (1953), «Quantification theory and empty individual-domains», The Journal of Symbolic Logic, Association for Symbolic Logic, 18 (3): 197—200, doi:10.2307/2267402, JSTOR 2267402, MR 0057820

{{Математична логіка}}
{{Металогіка}}

[[Категорія:Формальні мови]]
[[Категорія:Теорія моделей]]
[[Категорія:Філософія мови]]
[[Категорія:Філософія свідомості]]
[[Категорія:Семантика]]