Перегляд вихідного коду сторінки Аналіз Фур'є

[[File:Bass Guitar Time Signal of open string A note (55 Hz).png|thumb|400 px|Сигнал струни бас гітари, що відіграє ноту A ("Ля" - 55 Гц).]]

[[File:Fourier Transform of bass guitar time signal.png|thumb|400 px|Розподіл Фур'є часового сигналу звуку бас гітари для відкритої струни A  (55 Гц). Аналіз Фур'є дозволяє виявити коливальні компоненти сигналів і функцій.]]

В [[Математика|математиці]], '''аналіз Фур'є''' це наука, що вивчає яким чином загальні математичні [[Функція (математика)|функції]] можуть бути представлені або апроксимовані через суму простіших [[Тригонометричні функції|тригонометричних функцій]]. Аналіз Фур'є виник із вивчення властивостей [[Ряд Фур'є|ряду Фур'є]], і названий в честь [[Жан Батист Жозеф Фур'є|Джозефа Фур'є]], який показав, що представлення функції у вигляді суми тригонометричних функцій значно спрощує вивчення процесу [[Теплообмін|теплообміну]].

Сьогодні, предметом аналізу Фур'є є широкий спектр математичних задач. В науці і техніці, процес декомпозиції функції на коливальні компоненти часто називають аналізом Фур'є, хоча оперування і відновлення функцій із таких частин відомо як '''синтез Фур'є'''. Наприклад, при визначенні які саме компоненти частот присутні в музичній ноті, застосовують розрахунки перетворення Фур'є вибраної музичної ноти. Після чого можна знову синтезувати той самий звук використовуючи ті частотні компоненти, які виявив аналіз Фур'є. В математиці, термін ''аналіз Фур'є'' часто відноситься для вивчення обох цих операцій.

Процес декомпозиції сам по собі називається [[Перетворення Фур'є|Перетворенням Фур'є]]. 

==Застосування==
Аналіз Фур'є має багато застосувань в науці – в [[фізика|фізиці]], [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|диференційних рівняннях з частинними похідними]], [[Теорія чисел|теорії чисел]], [[Комбінаторика|комбінаториці]], [[Обробка сигналів|обробці сигналів]], [[Обробка зображень|обробці цифрових зображень]], [[Теорія ймовірностей|теорії ймовірності]], [[Статистика|статистиці]], [[Судова експертиза|експертизі]], [[Криптографія|криптографії]], [[Чисельні методи|чисельному аналізі]], [[Акустика|акустиці]], [[Океанографія|океанографії]], [[Гідролокатор|сонарах]], [[Оптика|оптиці]], [[Дифракція|дифракції]], [[Геометрія|геометрії]], структурному аналізі [[Білки|білків]], та інших областях.

Така широка застосованість зумовлена багатьма корисними властивостями перетворення:
* Перетворення є [[Лінійне відображення|лінійними відображеннями]] і, при відповідній нормалізації, є так само [[Унітарний оператор|унітарними]] (ця властивість відома як [[Parseval's theorem|Теорема Парсеваля]] або, в більш загальному випадку, як [[Plancherel theorem|Теорема Планхереля]], і загалом завдяки поняттю [[Pontryagin duality|двоїстості Понтрягіна]]) {{harv|Rudin|1990}}.
* Перетворення як правило є оберненими.
* [[Показникова функція|Показникові функції]] є [[Власна функція|власними функціями]] для [[Похідна|диференціювання]], це означає що таке представлення перетворює лінійні [[Диференціальні рівняння|диференційні рівняння]] із [[constant coefficients|сталими коіфіцієнти]] в звичайні алгебраїчні рівняння {{harv|Evans|1998}}. Таким чином, можна аналізувати поведінку [[Теорія лінійних стаціонарних систем|лінійних стаціонарних систем]] незалежно для кожної частоти.
* Завдяки {{нп|Теорема про згортку|теоремі про згортку||Convolution theorem}}, перетворення Фур'є перетворює складну операцію [[Згортка (математичний аналіз)|згортки]] у просте множення, що означає, що такі перетворення дозволяють робити розрахунки із операціями на основі згорток, такими як  множення [[Многочлен|многочленів]] і [[Multiplication algorithm#Fourier transform methods|множення великих чисел]], ефективнішим способом {{harv|Knuth|1997}}.
* [[Дискретне перетворення Фур'є|Дискретна]] версія перетворення Фур'є може швидко розраховуватися комп'ютерами із використанням алгоритмів [[Швидке перетворення Фур'є|швидкого перетворення Фур'є]] (FFT). {{harv|Conte|de Boor|1980}}

При експертизі, при використанні лабораторних інфрачервоних спектрофотометрів застосовують аналіз перетворення Фур'є для вимірювання [[Довжина хвилі|довжини хвилі]] світла при якій матеріал буде поглинати інфрачервоний спектр. Метод перетворення Фур'є використовується для декодування виміряних сигналів і запису даних про довжину хвилі. А при використанні комп'ютера, такі обчислення використовуються швидко, тому такий комп'ютерно керований пристрій може видати спектр поглинання інфрачервоного випромінення за лічені секунди.<ref>{{cite book | last =Saferstein | first =Richard | title =Criminalistics: An Introduction to Forensic Science | date =2013}}</ref>

Перетворення Фур'є також використовують для компактного представлення сигналу. Наприклад, алгоритм стиснення [[JPEG]] використовує модифікацію перетворення Фур'є ([[дискретне косинусне перетворення]]) для невеликих квадратних фрагментів цифрового зображення. Компоненти Фур'є кожного квадрату округлюються до меншої арифметичної точності, а не значними компонентами нехтують, тому компоненти, що залишилися можна зберігати дуже компактно. При реконструкції зображення, кожен квадрат відновлюється із збережених наближених компонентів перетворення Фур'є, які потім зворотно перетворюються для наближеного відновлення початкового зображення.

==Варіанти аналізу Фур'є==

===(Неперервне) Перетворення Фур'є===
{{main article|Перетворення Фур'є}}

Найчастіше, не уточнений термін '''перетворення Фур'є''' застосовують до перетворення неперервних функцій [[Дійсні числа|дійсного]] аргументу, результатом якого є [[неперервна функція]] частоти, відома як ''розподілення частоти''. Одна функція перетворюється на іншу, а сама операція є оберненою. Коли областю визначення вхідної (початкової) функції є час ({{mvar|t}}), а областю визначення вихідної (фінальної) функції є [[Частота|частотою]], перетворення функції {{math|''s''(''t'')}} при частоті {{mvar|f}} задається наступним чином:

:<math>S(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \cdot e^{- 2 i\pi f t} \, dt.</math>

Розрахунок цієї величини при всіх значеннях {{mvar|f}} утворює функцію в ''частотній області''. Тоді {{math|''s''(''t'')}} можна представити як рекомбінацію [[Формула Ейлера|комплексних експонент]] для всіх можливих частот:

:<math>s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} S(f) \cdot e^{2 i\pi f t} \, df,</math>

що є формулою для зворотного перетворення. [[Комплексне число]], {{math|''S''(&thinsp;''f''&thinsp;)}}, містить в собі одночасно амплітуду і фазу частоти {{mvar|f}}.

===Ряд Фур'є===
{{main article|Ряд Фур'є}}

Перетворення Фур'є [[Періодична функція|періодичної функції]], {{math|''s''<sub>''P''</sub>(''t'')}}, із періодом {{mvar|P}}, стає функцією що є [[Гребінець Дірака|гребінцем Дірака]], модульованою послідовністю комплексних [[Коефіцієнт|коефіцієнтів]]:

:<math>S[k] = \frac{1}{P}\int_{P} s_P(t)\cdot e^{-2 i\pi \frac{k}{P} t}\, dt</math>

для всіх цілих значень {{mvar|k}}, і де {{math|''∫<sub>P</sub>''}} є інтегралом здовж будь-якого інтервалу довжиною ''P''.

Зворотне перетворення, відоме як '''ряд Фур'є''', є представленням {{math|''s''<sub>''P''</sub>(''t'')}} в термінах суми потенційно нескінченного числа гармонійно пов'язаних синусоїд або [[Формула Ейлера|комплексних експоненційних]] функцій, кожна з яких має амплітуду і фазу, що задана одним з коефіцієнтів:

:<math>s_P(t)=\sum_{k=-\infty}^\infty S[k]\cdot e^{2 i\pi \frac{k}{P} t} \quad\stackrel{\displaystyle \mathcal{F}}{\Longleftrightarrow}\quad \sum_{k=-\infty}^{+\infty} S[k]\, \delta \left(f-\frac{k}{P}\right).</math>

Коли {{math|''s''<sub>''P''</sub>(''t'')}}, задається як {{нп|періодична сума||en|periodic summation}} іншої функції, {{math|''s''(''t'')}}:

: <math>s_P(t) \,\stackrel{\text{def}}{=}\, \sum_{m=-\infty}^\infty s(t-mP),</math>

коефіцієнти є пропорційними елементам {{math|''S''(&thinsp;''f''&thinsp;)}} для дискретних інтервалів {{math|{{sfrac|1|''P''}}}}:

: <math>S[k] =\frac{1}{P}\cdot S\left(\frac{k}{P}\right).</math><ref group="детальніше">
:<math>\int_{P} \left(\sum_{m=-\infty}^{\infty} s(t-mP)\right) \cdot e^{-2 i\pi \frac{k}{P} t} \,dt = \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} s(t) \cdot e^{-2 i\pi \frac{k}{P} t} \,dt}_{\stackrel{\mathrm{def}}{=}\, S\left(\frac{k}{P}\right)}</math>
</ref>

Достатньою умовою для відновлення {{math|''s''(''t'')}} (і таким чином {{math|''S''(&thinsp;''f''&thinsp;)}}) лише із цих елементів (тобто із ряду Фур'є) є те, що не нульовий відлік {{math|''s''(''t'')}} буде обмежений до відомого інтервалу довжиною {{mvar|P}}, із подвоєнням [[Частотна область|частотної області]] відповідно до [[Теорема відліків Віттакера — Найквіста — Котельникова — Шеннона|теореми відліків Найквіста-Шеннона]].

=== Дискретне перетворення Фур'є ===
{{main article|Дискретне перетворення Фур'є}}

Так само як і ряд Фур'є, дискретне перетворення Фур'є є періодичним рядом {{math|''s''<sub>''N''</sub>[''n'']}} з періодом {{mvar|N}}, що є [[Гребінець Дірака|функцією Дірака]], яка модулюється послідовністю комплексних коефіцієнтів:

: <math>S[k] = \sum_N s_N[n]\cdot e^{-2 i\pi \frac{k}{N} n},</math>
де {{math|∑<sub>''N''</sub>}}&nbsp;— сума по всьому ряду {{mvar|n}}-их елементів із довжиною {{mvar|N}}.

Ряд {{math|''S''[''k'']}} і є тим, що є загальновідомим як '''дискре́тне перетво́рення Фур'є́''' ('''ДПФ''') для {{math|''s''<sub>''N''</sub>}}. Воно також має період {{mvar|N}}, тому зазвичай нема потреби обраховувати понад {{mvar|N}} коефіцієнтів. Обернене перетворення виглядає наступним чином:

: <math>s_N[n] = \frac{1}{N} \sum_{N} S[k]\cdot e^{2 i\pi \frac{n}{N}k},</math>
де {{math|∑<sub>''N''</sub>}}&nbsp;— сума по всьому ряду {{mvar|k}}-елементів довжиною {{mvar|N}}.

Коли {{math|''s''<sub>''N''</sub>[''n'']}} задається у вигляді {{нп|Періодична сума|періодичної суми|en|periodic summation}} іншої функції,

: <math>s_N[n]\, \stackrel{\text{def}}{=}\, \sum_{m=-\infty}^{\infty} s[n-mN],</math> &nbsp; а &nbsp; <math>s[n]\, \stackrel{\text{def}}{=}\, s(nT),</math>

коефіцієнти є пропорційними значенням {{math|''S''<sub>{{sfrac|1|''T''}}</sub>(&thinsp;''f''&thinsp;)}} для дискретних інтервалів {{math|{{sfrac|1|''P''}} {{=}} {{sfrac|1|''NT''}}}}:

: <math>S[k] = \frac{1}{T}\cdot S_\frac{1}{T}\left(\frac{k}{P}\right).</math><ref group="детальніше">
:<math>\sum_{N} \left(\sum_{m=-\infty}^{\infty} s([n-mN]T)\right) \cdot e^{-2 i\pi \frac{k}{N} n} = \underbrace{\sum_{n=-\infty}^{\infty} s(nT) \cdot e^{-2 i\pi \frac{k}{N} n}}_{\stackrel{\mathrm{def}}{=}\, \frac{1}{T} S_\frac{1}{T}\left(\frac{k}{NT}\right)}</math>
</ref>

Дискретне перетворення Фур'є можливо розраховувати за допомогою алгоритму [[Швидке перетворення Фур'є|швидкого перетворення Фур'є]] (FFT), що робить можливим виконання його за допомогою комп'ютера.

==Історія==

Прості форми гармонійних рядів існували ще в стародавні часи [[Вавилонська математика|вавилонських математиків]], які вони використовували для розрахунку [[Ефемерида|ефемерид]] (таблиця положення астрономічних тіл).<ref>{{cite book
|title=The Evolution of Applied Harmonic Analysis: Models of the Real World
|first=Elena
|last=Prestini
|date=2004
|publisher=Birkhäuser
|isbn=978-0-8176-4125-2
|url=https://books.google.com/books?id=fye--TBu4T0C&pg=PA62
|page=62
|accessdate=4 лютого 2018
|archive-date=1 серпня 2020
|archive-url=https://web.archive.org/web/20200801213009/https://books.google.com/books?id=fye--TBu4T0C&pg=PA62
}}</ref><ref>{{cite book
|title=Indiscrete Thoughts
|first1=Gian-Carlo
|last1=Rota
|first2=Fabrizio
|last2=Palombi
|authorlink=Джан-Карло Рота
|publisher=Birkhäuser
|year=1997
|isbn=978-0-8176-3866-5
|url=https://books.google.com/books?id=H5smrEExNFUC&pg=PA11
|page=11
|accessdate=4 лютого 2018
|archive-date=1 серпня 2020
|archive-url=https://web.archive.org/web/20200801163257/https://books.google.com/books?id=H5smrEExNFUC&pg=PA11
}}</ref><ref>{{cite book| edition = 2nd | publisher={{нп|Dover Publications}} | last = Neugebauer | first = Otto | author-link = Отто Нойгебауер | title = The Exact Sciences in Antiquity | origyear = 1957 | year = 1969 | isbn = 978-0-486-22332-2 | url = https://books.google.com/?id=JVhTtVA2zr8C}}</ref><ref>{{cite journal
|arxiv=physics/0310126
|title=Analyzing shell structure from Babylonian and modern times
|date=2003-11-21
|url=https://archive.org/details/arxiv-physics0310126
|first1=Lis
|last1=Brack-Bernsen
|first2=Matthias
|last2=Brack
}}</ref>

Класична давньогрецька теорія астрономії про [[Епіцикл|диферент та епіцикл]] з [[Геоцентризм|Геоцентричної системи Птолемея]] була певною мірою схожа в розрахунках із рядами Фур'є.

В сучасні часи, різновид дискретного перетворення Фур'є використовували [[Алексі Клод Клеро|Алексі Клеро]] 1754 року для розрахунку орбіт,<ref>{{cite book
|title=Fourier Analysis on Finite Groups and Applications
|first=Audrey
|last=Terras
|authorlink=Одрі Терра
|publisher=[[Cambridge University Press]]
|year=1999
|isbn=978-0-521-45718-7
|url=https://books.google.com/?id=-B2TA669dJMC&pg=PA30#PPA30,M1
|page=30}}</ref><ref name="thedft4">{{cite book
|first1=William L.
|last1=Briggs
|first2=Van Emden
|last2=Henson
|publisher=SIAM
|year=1995
|isbn=978-0-89871-342-8
|title=The DFT: An Owner's Manual for the Discrete Fourier Transform
|url=https://books.google.com/books?id=coq49_LRURUC&pg=PA2#PPA4,M1
|page=4
|accessdate=4 лютого 2018
|archive-date=23 червня 2016
|archive-url=https://web.archive.org/web/20160623225708/https://books.google.com/books?id=coq49_LRURUC&pg=PA2#PPA4,M1
}}</ref>
і [[Жозеф-Луї Лагранж|Жозеф Лагранж]] 1759 року при розрахунку тригонометричних рядів при коливанні струни.<ref name="thedft">{{cite book
 |title=The DFT: An Owner's Manual for the Discrete Fourier Transform
 |first1=William L.
 |last1=Briggs
 |first2=Van Emden
 |last2=Henson
 |publisher=SIAM
 |year=1995
 |isbn=978-0-89871-342-8
 |url=https://books.google.com/?id=coq49_LRURUC&pg=PA2#PPA2,M1
 |page=2}}</ref> Детальніше, в роботі Клеро використовувалися лише косинусні ряди (різновид [[Дискретне косинусне перетворення|дискретного косинусного перетворення]]), а Лагранж використовував в роботі лише синусні ряди (різновид дискретного синусного перетворення); справжнє дискретне перетворення, що мало і синус і косинус, використовував у своїй роботі [[Карл Фрідріх Гаусс|Гаусс]] 1805 року для задачі тригонометричної інтерполяції орбіт [[астероїд]]ів.<ref name=Heideman84>{{cite journal | last =Heideman | first =M. T. | last2 =Johnson | first2 =D. H. | last3 =Burrus | first3 =C. S. | title =Gauss and the history of the fast Fourier transform | journal =IEEE ASSP Magazine | volume =1 | issue =4 | pages =14–21 | date =1984 | url =http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=1162257}}</ref>
Ейлер і Лагранж виконували дискретизування для задачі струни, що коливається, використовуючи для того вибірки.<ref name="thedft" />

Перші сучасні дослідження в бік аналізу Фур'є було описано в статті 1770 року ''{{нп|Список визначних публікацій з Математики|Réflexions sur la résolution algébrique des équations|en|List of important publications in mathematics}}'', автором якої був Лагранж, і який використав у своєму методі [[Резольвента алгебраїчного рівняння|резольвент Лагранжа]] комплексне розкладання Фур'є для вивчення розв'язку кубічних рівнянь:<ref>{{cite book
 |title=Basic Algebra
 |first=Anthony W.
 |last=Knapp
 |publisher=Springer
 |year=2006
 |isbn=978-0-8176-3248-9
 |url=https://books.google.com/books?id=KVeXG163BggC&pg=PA501
 |page=501
 |accessdate=4 лютого 2018
 |archive-date=17 червня 2016
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160617143903/https://books.google.com/books?id=KVeXG163BggC&pg=PA501
 }}</ref>

Лагранж перетворив корені {{math|''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>}} на резольвенти:
<!-- equation to clarify connection; instantly recognizable if familiar with DFT matrix -->
:<math>\begin{align}
r_1 &= x_1 + x_2 + x_3\\
r_2 &= x_1 + \zeta x_2 + \zeta^2 x_3\\
r_3 &= x_1 + \zeta^2 x_2 + \zeta x_3
\end{align}</math>
де {{mvar|ζ}} це кубічний [[корінь з одиниці]], що є дискретним перетворенням Фур'є третього порядку.

Ряд авторів, серед яких відомими є [[Жан Лерон д'Аламбер]], і [[Карл Фрідріх Гаусс]], використовували тригонометричні ряди для вивчення [[рівняння теплопровідності]],<ref>{{cite journal |last=Narasimhan |first=T. N. |date=February 1999 |title=Fourier's heat conduction equation: History, influence, and connections |url=http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1029/1998RG900006/pdf |format=PDF |journal=Reviews of Geophysics |location=New York |publisher=John Wiley & Sons |volume=37 |issue=1 |pages=151–172 |issn=1944-9208 |oclc=5156426043 |doi=10.1029/1998RG900006 |accessdate=4 лютого 2018 |archive-date=5 лютого 2018 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180205072439/http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1029/1998RG900006/pdf }}</ref> але проривом у розвитку цієї задачі була стаття ''Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides'' [[Жан Батист Жозеф Фур'є|Жозефа Фур'є]] 1807 року, який запропонував важливу ідею змоделювати ''усі'' функції за допомогою тригонометричних рядів, і представив ряди Фур'є.

==Виноски==
{{reflist|group=детальніше}}

==Примітки==
{{reflist}}

==Література==
{{refbegin}}
* {{cite book| last1 = Conte | first1 = S. D. | last2 = de Boor | first2 = Carl | title = Elementary Numerical Analysis | url = https://archive.org/details/elementarynumeri0000cont_j9e5 | edition = Third | location = New York | publisher=McGraw Hill, Inc. | isbn = 0-07-066228-2 | year=1980}}
* {{cite book|first=L.|last=Evans|title=Partial Differential Equations|url=https://archive.org/details/partialdifferent0019evan|publisher=American Mathematical Society|year=1998|isbn=3-540-76124-1}}
* {{cite book|last=Howell |first=Kenneth B. |date=2001 |title=Principles of Fourier Analysis |url=https://archive.org/details/principlesoffour0000howe |publisher=CRC Press |ISBN=978-0-8493-8275-8}}
* {{cite book | last =Kamen | first =E. W. | last2 =Heck | first2 =B. S. | title =Fundamentals of Signals and Systems Using the Web and Matlab | publisher =Prentiss-Hall | edition =2 | date =2000-03-02 | isbn =0-13-017293-6 | url-access =registration | url =https://archive.org/details/fundamentalsofsi00kame }}
* {{cite book|first=Donald E.|last=Knuth|title=[[The Art of Computer Programming]] Volume 2: Seminumerical Algorithms|edition=3rd|year=1997|publisher=Addison-Wesley Professional|isbn=0-201-89684-2|at=Section 4.3.3.C: Discrete Fourier transforms, pg.305}}
* {{cite book |last=Müller |first=Meinard |title=The Fourier Transform in a Nutshell |url=https://www.audiolabs-erlangen.de/content/05-fau/professor/00-mueller/04-bookFMP/2015_Mueller_FundamentalsMusicProcessing_Springer_Section2-1_SamplePages.pdf |publisher=Springer |at=In [http://www.music-processing.de Fundamentals of Music Processing], Section 2.1, p. 40–56 |year=2015 |doi=10.1007/978-3-319-21945-5 |isbn=978-3-319-21944-8 |accessdate=15 грудня 2017 |archive-date=20 січня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200120220007/https://www.audiolabs-erlangen.de/content/05-fau/professor/00-mueller/04-bookFMP/2015_Mueller_FundamentalsMusicProcessing_Springer_Section2-1_SamplePages.pdf }}
* {{cite book | last =Polyanin | first =A. D. | last2 =Manzhirov | first2 =A. V. | title =Handbook of Integral Equations | url =https://archive.org/details/handbookofintegr0000poli | publisher =CRC Press | date =1998 | location =Boca Raton | isbn =0-8493-2876-4}}
* {{cite book|first=Walter|last=Rudin|title=Fourier Analysis on Groups|publisher=Wiley-Interscience|year=1990|isbn=0-471-52364-X}}
* {{cite book |last=Smith |first=Steven W. |url=http://www.dspguide.com/pdfbook.htm |title=The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing |edition=Second |location=San Diego |publisher=California Technical Publishing |year=1999 |isbn=0-9660176-3-3 |accessdate=15 грудня 2017 |archive-date=12 листопада 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201112041923/https://www.dspguide.com/pdfbook.htm }}
* {{cite book | last =Stein | first =E. M. | last2 =Weiss | first2 =G. | title =Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces | publisher =Princeton University Press | date =1971 | isbn =0-691-08078-X | url-access =registration | url =https://archive.org/details/introductiontofo0000stei }}
{{refend}}

==Посилання==
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm Tables of Integral Transforms] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070630081426/http://eqworld.ipmnet.ru/en/auxiliary/aux-inttrans.htm |date=30 червня 2007 }} at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [https://web.archive.org/web/20060210112754/http://cns-alumni.bu.edu/~slehar/fourier/fourier.html An Intuitive Explanation of Fourier Theory] by Steven Lehar.
* [https://archive.org/details/Lectures_on_Image_Processing Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lecture 6 is on the 1- and 2-D Fourier Transform. Lectures 7–15 make use of it.], by Alan Peters
* {{cite web |last=Moriarty |first=Philip |title=∑ Summation (and Fourier Analysis) |url=http://www.sixtysymbols.com/videos/summation.htm |work=Sixty Symbols |publisher=[[Brady Haran]] for the [[University of Nottingham]] |last2=Bowley |first2=Roger |year=2009 |accessdate=15 грудня 2017 |archive-date=6 травня 2020 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200506004154/http://www.sixtysymbols.com/videos/summation.htm }}
{{refend}}

[[Категорія:Аналіз Фур'є| ]]
[[Категорія:Цифрова обробка сигналів]]
[[Категорія:Математична фізика]]
[[Категорія:Аналіз часових рядів]]