Перегляд вихідного коду сторінки Квадратні трикутні числа

{{for|квадрати трикутних чисел,|квадрат трикутного числа}}
{{unibox}}[[Файл:TriSquare36.svg|200px|thumb|Квадратне трикутне число 36 зображене як трикутне число та як квадратне числоd.]]

У [[математика|математиці]], '''квадратне трикутне число''' (або '''трикутне квадратне число''')&nbsp;— число, яке одночасно є [[трикутне число|трикутним числом]] і [[квадратне число|ідеальним квадратом]]. Існує [[нескінченність|нескінченно багато]] таких чисел; декілька перших з них:
: 0, 1, 36, {{val|1225|fmt=gaps}}, {{val|41616}}, {{val|1413721}}, {{val|48024900}}, {{val|1631432881}}, {{val|55420693056}}, {{val|1882672131025}} {{OEIS|id=A001110}}

== Детальні формули ==

Якщо позначити {{math|''N''<sub>''k''</sub>}} для {{mvar|k}}-го квадратного трикутного числа, а {{math|''s''<sub>''k''</sub>}} і {{math|''t''<sub>''k''</sub>}} прийняти за сторони відповідного квадрата і трикутника, тоді
: <math>N_k = s_k^2 = \frac{t_k(t_k+1)}{2}.</math>
Далі позначаємо ''трикутний корінь'' трикутного числа {{math|''N'' {{=}} {{sfrac|''n''(''n'' + 1)|2}}}} як {{mvar|n}}. З цього визначення та квадратичної формули,
: <math>n = \frac{\sqrt{8N + 1} - 1}{2}.</math>
Тому, {{mvar|N}} є трикутним числом (для цілого {{mvar|n}}) [[тоді й лише тоді]], коли {{math|8''N'' + 1}} є квадратом. Відповідно, квадратне число {{math|''M''<sup>2</sup>}} є трикутним числом тоді й лише тоді, коли {{math|8''M''<sup>2</sup> + 1}} є квадратом, тобто, коли існують числа {{mvar|x}} і {{mvar|y}}, для яких {{math|''x''<sup>2</sup> − 8''y''<sup>2</sup> {{=}} 1}}. Це є випадком [[рівняння Пелля]] для {{math|''n'' {{=}} 8}}. Всі рівняння Перря мають тривіальні рішення {{math|''x'' {{=}} 1, ''y'' {{=}} 0}} для будь-якого{{mvar|n}}; це також називається нульовим рішенням, та індексується як {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''y''<sub>0</sub>) {{=}} (1,0)}}. Якщо {{math|(''x<sub>k</sub>'', ''y<sub>k</sub>'')}} позначає {{mvar|k}}-те нетривіальне рішення будб-якого рівняння Пелля для конкретного {{mvar|n}}, воно може бути зображено методом спуска, тобто
: <math>\begin{align}
x_{k+1} &= 2x_k x_1 - x_{k-1}, \\
y_{k+1} &= 2y_k x_1 - y_{k-1}.
\end{align}</math>
Тому існує нескінченність рішень для будь-якого рівняння Пелля, для якого існує одне нетривіальне рішення, що залишається правильним для будь-якого {{mvar|n}}, яке не є квадратом. Перше нетривіальне рішення для {{math|''n'' {{=}} 8}} легко знайти: це (3,1). Рішення {{math|(''x<sub>k</sub>'', ''y<sub>k</sub>'')}} для рівняння Пелля для {{math|''n'' {{=}} 8}} дає квадратне трикутне число та його квадратний та трикутний корінь, а саме:
: <math>s_k = y_k , \quad t_k = \frac{x_k - 1}{2}, \quad N_k = y_k^2.</math>
Тому першим квадратним трикутним числом, отриманим від (3,1), є 1, а наступним, отриманим від {{nowrap|6 × (3,1) − (1,0) {{=}} (17,6)}}, є 36.

Послідовності {{math|''N''<sub>''k''</sub>}}, {{math|''s''<sub>''k''</sub>}} і {{math|''t''<sub>''k''</sub>}} є відповідно послідовностями [[OEIS]] {{OEIS2C|id=A001110}}, {{OEIS2C|id=A001109}} і {{OEIS2C|id=A001108}}.

[[Леонард Ейлер]] 1778 року визначив точну формулу<ref name=Dickson>{{cite book | last1 = Dickson | first1 = Leonard Eugene | authorlink1 = Леонард Юджин Діксон |title = History of the Theory of Numbers | volume = 2 | publisher = American Mathematical Society | location = Providence | year = 1999 |origyear = 1920 | page = 16 | isbn = 978-0-8218-1935-7 }}</ref><ref name=Euler>{{cite journal |last=Euler |first=Leonhard |authorlink=Леонард Ейлер |year=1813 |title=Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (Легке правило для Діофантових рівнянь, які швидко вирішуються цілими числами) |journal=Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg |volume=4 |pages=3–17 |url=http://math.dartmouth.edu/~euler/pages/E739.html |language=латинська |accessdate=2009-05-11 |quote=Згідно з записами, воно було презентовано Санкт-Петербурзькій Академії 4 травня 1778 р. |archive-date=22 Жовтня 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20131022172926/http://www.math.dartmouth.edu/~euler/pages/E739.html }}</ref>{{Rp|12–13}}
: <math>N_k = \left( \frac{\left(3 + 2\sqrt{2}\right)^k - \left(3 - 2\sqrt{2}\right)^k}{4\sqrt{2}} \right)^2.
</math>
Інші еквівалентні формули (отримані деталізацією цієї формули), які можуть бути зручними, включають
: <math>\begin{align}
N_k &= \tfrac{1}{32} \left( \left( 1 + \sqrt{2} \right)^{2k} - \left( 1 - \sqrt{2} \right)^{2k} \right)^2 \\
&= \tfrac{1}{32} \left( \left( 1 + \sqrt{2} \right)^{4k}-2 + \left( 1 - \sqrt{2} \right)^{4k} \right) \\
&= \tfrac{1}{32} \left( \left( 17 + 12\sqrt{2} \right)^k -2 + \left( 17 - 12\sqrt{2} \right)^k \right).
\end{align}</math>
Відповідні детальні формули для {{math|''s''<sub>''k''</sub>}} і {{math|''t''<sub>''k''</sub>}} є наступними:<ref name=Euler />{{Rp|13}}
: <math>\begin{align}
s_k &= \frac{\left(3 + 2\sqrt{2}\right)^k - \left(3 - 2\sqrt{2}\right)^k}{4\sqrt{2}}, \\
t_k &= \frac{\left(3 + 2\sqrt{2}\right)^k + \left(3 - 2\sqrt{2}\right)^k - 2}{4}.
\end{align}</math>

== Рівняння Пелля ==
Проблема пошуку квадратних трикутних чисел зводиться до [[рівняння Пелля]] наступним чином.<ref>{{cite book | last1 = Barbeau | first1 = Edward | title = Pell's Equation | pages = 16–17 | url = https://books.google.com/books?id=FtoFImV5BKMC&pg=PA16 | accessdate = 2009-05-10 | series = Problem Books in Mathematics | publisher = Springer | location = New York | year = 2003 | isbn = 978-0-387-95529-2 | archive-date = 7 Квітня 2017 | archive-url = https://web.archive.org/web/20170407061225/https://books.google.com/books?id=FtoFImV5BKMC&pg=PA16 }}</ref>

Кожне трикутне число має форму {{math|{{sfrac|''t''(''t'' + 1)|2}}}}, тому потрібно шукати такі цілі числа {{mvar|t}}, {{mvar|s}}, що
: <math>\frac{t(t+1)}{2} = s^2.</math>

Трансформуючи, отримуємо
: <math>\left(2t+1\right)^2=8s^2+1,</math>

а тоді, підставляючи {{math|''x'' {{=}} 2''t'' + 1}} і {{math|''y'' {{=}} 2''s''}}, отримуємо [[Діофантові рівняння|Діофантове рівняння]]
: <math>x^2 - 2y^2 =1,</math>

яке є окремим випадком рівняння Пелля. Це конкретне рівняння вирішується [[Число Пелля|числом Пелля]] {{math|''P''<sub>''k''</sub>}}, а саме<ref>{{cite book |last1=Hardy |first1=G. H. |authorlink1=Ґодфрі Гарольд Гарді |last2=Wright |first2=E. M. |title=An Introduction to the Theory of Numbers |edition=5th |year=1979 |publisher=Oxford University Press |isbn=0-19-853171-0 |page=[https://archive.org/details/introductiontoth00hard/page/210 210] |quote=Теорема 244 |url=https://archive.org/details/introductiontoth00hard/page/210 }}</ref>

: <math>x = P_{2k} + P_{2k-1}, \quad y = P_{2k};</math>

а тому всі рішення можна записати як

: <math> s_k = \frac{P_{2k}}{2}, \quad t_k = \frac{P_{2k} + P_{2k-1} -1}{2}, \quad N_k = \left( \frac{P_{2k}}{2} \right)^2.</math>

Існує багато тотожностей щодо числа Пелля, і ці тотожності транслюються у тотожності щодо квадратних трикутних чисел.

== Рекурентні співвідношення ==

Існують [[Рекурентне співвідношення|рекурентні співвідношення]] для квадратних трикутних чисел, так само як і для сторін їх квадратів і трикутників. Маємо<ref>{{MathWorld|title=Square Triangular Number|urlname=SquareTriangularNumber}}</ref>{{Rp|(12)}}

: <math>\begin{align}
N_k &= 34N_{k-1} - N_{k-2} + 2,& \text{де }N_0 &= 0\text{ і }N_1 = 1; \\
N_k &= \left(6\sqrt{N_{k-1}} - \sqrt{N_{k-2}}\right)^2,& \text{де }N_0 &= 0\text{ і }N_1 = 1.
\end{align}</math>

Маємо<ref name=Dickson /><ref name=Euler />{{Rp|13}}

: <math>\begin{align}
s_k &= 6s_{k-1} - s_{k-2},& \text{де }s_0 &= 0\text{ і }s_1 = 1; \\
t_k &= 6t_{k-1} - t_{k-2} + 2,& \text{де }t_0 &= 0\text{ і }t_1 = 1.
\end{align}</math>

== Інші характеристики ==

Всі квадратні трикутні числа мають форму {{math|''b''<sup>2</sup>''c''<sup>2</sup>}}, де {{math|{{sfrac|''b''|''c''}}}} є наближенням до [[Ланцюговий дріб|ланцюгового дробу]] для [[Квадратний корінь з двох|{{sqrt|2}}]].<ref name=Ball>{{cite book | last1 = Ball | first1 = W. W. Rouse | last2 = Coxeter | first2 = H. S. M. |authorlink2 = Гарольд Коксетер | title = Mathematical Recreations and Essays | url = https://archive.org/details/mathematicalrecr00coxe | publisher = Dover Publications | location = New York | year = 1987 | page = [https://archive.org/details/mathematicalrecr00coxe/page/n72 59]| isbn = 978-0-486-25357-2 }}</ref>

А.&nbsp;В.&nbsp;Сільвестер надав наступний короткий доказ, що існує нескінченність квадратних трикутних чисел:<ref name=Sylwester>{{cite journal |last=Pietenpol |first=J. L. |first2=A. V. |last2=Sylwester |first3=Erwin |last3=Just |first4=R. M. |last4=Warten  |date=February 1962 |title=Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1962-02_69_2/page/168 |journal=American Mathematical Monthly |volume=69 |issue=2 |pages=168–169 |ISSN=0002-9890  |jstor=2312558|publisher=Mathematical Association of America | doi = 10.2307/2312558}}</ref>

Якщо {{mvar|n}}-не трикутне число {{math|{{sfrac|''n''(''n'' + 1)|2}}}} є квадратним, то і більше {{math|4''n''(''n'' + 1)}}-не трикутне число є таким, оскільки:
: <math>\frac{\bigl( 4n(n+1) \bigr) \bigl( 4n(n+1)+1 \bigr)}{2} = 4 \, \frac{n(n+1)}{2} \,\left(2n+1\right)^2.</math>

Ми знаємо, що цей результат має бути квадратним числом, оскільки він є результатом множення трьох квадратів: 4, {{math|{{sfrac|''n''(''n'' + 1)|2}}}} (початкове квадратне трикутне число) та {{math|(2''n'' + 1)<sup>2</sup>}}.

Трикутні корені {{math|''t<sub>k</sub>''}} є одночасно на одиницю менші квадрата і є подвоєним квадратом, якщо {{mvar|k}} є парним числом, та одночасно є квадратом і на одиницю менше подвоєного квадрату, якщо {{mvar|k}} непарним числом. Так,
: 49 = 7<sup>2</sup> = 2 × 5<sup>2</sup> − 1,
: 288 = 17<sup>2</sup> − 1 = 2 × 12<sup>2</sup>, і
: 1681 = 41<sup>2</sup> = 2 × 29<sup>2</sup> − 1.
У кожному випадку, два використані квадратні корені при множенні дають {{math|''s<sub>k</sub>''}}: {{nowrap|1=5 × 7 = 35}}, {{nowrap|1=12 × 17 = 204}}, і {{nowrap|1=29 × 41 = 1189}}.{{citation needed|date=березень 2019}}

Додатково:
: <math>N_k - N_{k-1}=s_{2k-1};</math>
{{nowrap|1=36 − 1 = 35}}, {{nowrap|1=1225 − 36 = 1189}}, and {{nowrap|1=41616 − 1225 = 40391}}. Іншими словами, різниця між двома послідовними квадратними трикутними числами є квадратним коренем іншого квадратного трикутного числа.{{citation needed|date=березень 2019}}

Функція, яка генерує квадратні трикутні числа:<ref>{{cite web |first=Simon |last=Plouffe |title=1031 Generating Functions |url=http://www.lacim.uqam.ca/%7Eplouffe/articles/FonctionsGeneratrices.pdf |publisher=University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique |page=A.129 |format=PDF |date=August 1992 |accessdate=2009-05-11 |archive-date=6 Лютого 2013 |archive-url=https://www.webcitation.org/6EEFLpSDH?url=http://www.plouffe.fr/simon/articles/FonctionsGeneratrices.pdf }}</ref>
: <math>\frac{1+z}{(1-z)\left(z^2 - 34z + 1\right)} = 1 + 36z + 1225 z^2 + \cdots</math>

== Числові дані ==

По мірі зростання {{mvar|k}}, співвідношення {{math|{{sfrac|''t<sub>k</sub>''|''s<sub>k</sub>''}}}} наближається до [[Квадратний корінь з двох|{{sqrt|2}}]] ≈&nbsp;{{val|1.41421356}}, а співвідношення послідовних квадратних трикутних чисел наближається {{nowrap|(1 + {{sqrt|2}})<sup>4</sup>}} {{nowrap|{{=}} 17 + 12{{sqrt|2}}}} ≈&nbsp;{{val|33.970562748}}. Таблиця нижче дає значення {{mvar|k}} між 0 та 11, які охоплюють всі квадратні трикутні числа до {{val|e=16}}.

: {| class="wikitable" border="1" style="text-align: right"
|-
! {{mvar|k}}
! {{math|''N<sub>k</sub>''}}
! {{math|''s<sub>k</sub>''}}
! {{math|''t<sub>k</sub>''}}
!rowspan=2 valign=top| {{math|{{sfrac|''t<sub>k</sub>''|''s<sub>k</sub>''}}}}
!rowspan=3 valign=top| {{math|{{sfrac|''N<sub>k</sub>''|''N''<sub>''k'' − 1</sub>}}}}
|-
|0
|0
|0
|0
|-
|1
|1
|1
|1
|align=left|1
|-
|2
|36
|6
|8
|align=left|{{val|1.33333333}}
|align=left|36
|-
|3
|{{val|1225|fmt=gaps}}
|35
|49
|align=left|1.4
|align=left|{{val|34.027777778}}
|-
|4
|{{val|41616}}
|204
|288
|align=left|{{val|1.41176471}}
|align=left|{{val|33.972244898}}
|-
|5
|{{val|1413721}}
|{{val|1189|fmt=gaps}}
|{{val|1681|fmt=gaps}}
|align=left|{{val|1.41379310}}
|align=left|{{val|33.970612265}}
|-
|6
|{{val|48024900}}
|{{val|6930|fmt=gaps}}
|{{val|9800|fmt=gaps}}
|align=left|{{val|1.41414141}}
|align=left|{{val|33.970564206}}
|-
|7
|{{val|1631432881}}
|{{val|40391}}
|{{val|57121}}
|align=left|{{val|1.41420118}}
|align=left|{{val|33.970562791}}
|-
|8
|{{val|55420693056}}
|{{val|235416}}
|{{val|332928}}
|align=left|{{val|1.41421144}}
|align=left|{{val|33.970562750}}
|-
|9
|{{val|1882672131025}}
|{{val|1372105}}
|{{val|1940449}}
|align=left|{{val|1.41421320}}
|align=left|{{val|33.970562749}}
|-
|10
|{{val|63955431761796}}
|{{val|7997214}}
|{{val|11309768}}
|align=left|{{val|1.41421350}}
|align=left|{{val|33.970562748}}
|-
|11
|{{val|2172602007770041}}
|{{val|46611179}}
|{{val|65918161}}
|align=left|{{val|1.41421355}}
|align=left|{{val|33.970562748}}
|}<!-- The table was generated in 23-jul-2016 using a Python script available at http://pastebin.com/sWyesrR8 -->

== Див. також ==
* [[Задача про гарматні кулі]], про числа, які є одночасно квадратними та квадратними пірамідальними
* [[Шостий степінь]], числа, які є одночасно квадратними та кубічними
* [[Квадратне число]]
* [[Центроване квадратне число]]

== Примітки ==
{{reflist}}

== Посилання ==
* [http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml Трикутні числа, які також квадратні] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20060427075825/http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/triSquare.shtml |date=27 Квітня 2006 }} на [[Олександр Богомольний|cut-the-knot]]
* {{MathWorld|title=Square Triangular Number|urlname=SquareTriangularNumber}}
* [http://opinionator.blogs.nytimes.com/2012/01/04/remembering-michael-dummett/ Рішення Майкла Даммета] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181017203400/https://opinionator.blogs.nytimes.com/2012/01/04/remembering-michael-dummett/ |date=17 Жовтня 2018 }}

{{Класи натуральних чисел|collapsed}}

[[Категорія:Фігурні числа]]
[[Категорія:Цілочисельні послідовності]]