Квадратні трикутні числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Квадратні трикутні числа
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика
Схематична ілюстрація
CMNS: Квадратні трикутні числа у Вікісховищі
Квадратне трикутне число 36 зображене як трикутне число та як квадратне числоd.

У математиці, квадратне трикутне число (або трикутне квадратне число) — число, яке одночасно є трикутним числом і ідеальним квадратом. Існує нескінченно багато таких чисел; декілька перших з них:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025 послідовність A001110 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Детальні формули

[ред. | ред. код]

Якщо позначити Nk для k-го квадратного трикутного числа, а sk і tk прийняти за сторони відповідного квадрата і трикутника, тоді

Далі позначаємо трикутний корінь трикутного числа N = n(n + 1)/2 як n. З цього визначення та квадратичної формули,

Тому, N є трикутним числом (для цілого n) тоді й лише тоді, коли 8N + 1 є квадратом. Відповідно, квадратне число M2 є трикутним числом тоді й лише тоді, коли 8M2 + 1 є квадратом, тобто, коли існують числа x і y, для яких x2 − 8y2 = 1. Це є випадком рівняння Пелля для n = 8. Всі рівняння Перря мають тривіальні рішення x = 1, y = 0 для будь-якогоn; це також називається нульовим рішенням, та індексується як (x0, y0) = (1,0). Якщо (xk, yk) позначає k-те нетривіальне рішення будб-якого рівняння Пелля для конкретного n, воно може бути зображено методом спуска, тобто

Тому існує нескінченність рішень для будь-якого рівняння Пелля, для якого існує одне нетривіальне рішення, що залишається правильним для будь-якого n, яке не є квадратом. Перше нетривіальне рішення для n = 8 легко знайти: це (3,1). Рішення (xk, yk) для рівняння Пелля для n = 8 дає квадратне трикутне число та його квадратний та трикутний корінь, а саме:

Тому першим квадратним трикутним числом, отриманим від (3,1), є 1, а наступним, отриманим від 6 × (3,1) − (1,0) = (17,6), є 36.

Послідовності Nk, sk і tk є відповідно послідовностями OEIS OEISA001110, OEISA001109 і OEISA001108.

Леонард Ейлер 1778 року визначив точну формулу[1][2]:12–13

Інші еквівалентні формули (отримані деталізацією цієї формули), які можуть бути зручними, включають

Відповідні детальні формули для sk і tk є наступними:[2]:13

Рівняння Пелля

[ред. | ред. код]

Проблема пошуку квадратних трикутних чисел зводиться до рівняння Пелля наступним чином.[3]

Кожне трикутне число має форму t(t + 1)/2, тому потрібно шукати такі цілі числа t, s, що

Трансформуючи, отримуємо

а тоді, підставляючи x = 2t + 1 і y = 2s, отримуємо Діофантове рівняння

яке є окремим випадком рівняння Пелля. Це конкретне рівняння вирішується числом Пелля Pk, а саме[4]

а тому всі рішення можна записати як

Існує багато тотожностей щодо числа Пелля, і ці тотожності транслюються у тотожності щодо квадратних трикутних чисел.

Рекурентні співвідношення

[ред. | ред. код]

Існують рекурентні співвідношення для квадратних трикутних чисел, так само як і для сторін їх квадратів і трикутників. Маємо[5]:(12)

Маємо[1][2]:13

Інші характеристики

[ред. | ред. код]

Всі квадратні трикутні числа мають форму b2c2, де b/c є наближенням до ланцюгового дробу для 2.[6]

А. В. Сільвестер надав наступний короткий доказ, що існує нескінченність квадратних трикутних чисел:[7]

Якщо n-не трикутне число n(n + 1)/2 є квадратним, то і більше 4n(n + 1)-не трикутне число є таким, оскільки:

Ми знаємо, що цей результат має бути квадратним числом, оскільки він є результатом множення трьох квадратів: 4, n(n + 1)/2 (початкове квадратне трикутне число) та (2n + 1)2.

Трикутні корені tk є одночасно на одиницю менші квадрата і є подвоєним квадратом, якщо k є парним числом, та одночасно є квадратом і на одиницю менше подвоєного квадрату, якщо k непарним числом. Так,

49 = 72 = 2 × 52 − 1,
288 = 172 − 1 = 2 × 122, і
1681 = 412 = 2 × 292 − 1.

У кожному випадку, два використані квадратні корені при множенні дають sk: 5 × 7 = 35, 12 × 17 = 204, і 29 × 41 = 1189.[джерело?]

Додатково:

36 − 1 = 35, 1225 − 36 = 1189, and 41616 − 1225 = 40391. Іншими словами, різниця між двома послідовними квадратними трикутними числами є квадратним коренем іншого квадратного трикутного числа.[джерело?]

Функція, яка генерує квадратні трикутні числа:[8]

Числові дані

[ред. | ред. код]

По мірі зростання k, співвідношення tk/sk наближається до 2 ≈ 1.41421356, а співвідношення послідовних квадратних трикутних чисел наближається (1 + 2)4 = 17 + 122 ≈ 33.970562748. Таблиця нижче дає значення k між 0 та 11, які охоплюють всі квадратні трикутні числа до 1016.

k Nk sk tk tk/sk Nk/Nk − 1
0 0 0 0
1 1 1 1 1
2 36 6 8 1.33333333 36
3 1225 35 49 1.4 34.027777778
4 41616 204 288 1.41176471 33.972244898
5 1413721 1189 1681 1.41379310 33.970612265
6 48024900 6930 9800 1.41414141 33.970564206
7 1631432881 40391 57121 1.41420118 33.970562791
8 55420693056 235416 332928 1.41421144 33.970562750
9 1882672131025 1372105 1940449 1.41421320 33.970562749
10 63955431761796 7997214 11309768 1.41421350 33.970562748
11 2172602007770041 46611179 65918161 1.41421355 33.970562748

Див. також

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. а б Dickson, Leonard Eugene (1999) [1920]. History of the Theory of Numbers. Т. 2. Providence: American Mathematical Society. с. 16. ISBN 978-0-8218-1935-7.
  2. а б в Euler, Leonhard (1813). Regula facilis problemata Diophantea per numeros integros expedite resolvendi (Легке правило для Діофантових рівнянь, які швидко вирішуються цілими числами). Mémoires de l'Académie des Sciences de St.-Pétersbourg (латинська) . 4: 3—17. Архів оригіналу за 22 Жовтня 2013. Процитовано 11 травня 2009. Згідно з записами, воно було презентовано Санкт-Петербурзькій Академії 4 травня 1778 р.
  3. Barbeau, Edward (2003). Pell's Equation. Problem Books in Mathematics. New York: Springer. с. 16—17. ISBN 978-0-387-95529-2. Архів оригіналу за 7 Квітня 2017. Процитовано 10 травня 2009.
  4. Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979). An Introduction to the Theory of Numbers (вид. 5th). Oxford University Press. с. 210. ISBN 0-19-853171-0. Теорема 244
  5. Weisstein, Eric W. Square Triangular Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  6. Ball, W. W. Rouse; Coxeter, H. S. M. (1987). Mathematical Recreations and Essays. New York: Dover Publications. с. 59. ISBN 978-0-486-25357-2.
  7. Pietenpol, J. L.; Sylwester, A. V.; Just, Erwin; Warten, R. M. (February 1962). Elementary Problems and Solutions: E 1473, Square Triangular Numbers. American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 69 (2): 168—169. doi:10.2307/2312558. ISSN 0002-9890. JSTOR 2312558.
  8. Plouffe, Simon (August 1992). 1031 Generating Functions (PDF). University of Quebec, Laboratoire de combinatoire et d'informatique mathématique. с. A.129. Архів оригіналу (PDF) за 6 Лютого 2013. Процитовано 11 травня 2009.

Посилання

[ред. | ред. код]