Перегляд вихідного коду сторінки Кусково-лінійна функція

[[Файл:Piecewise linear function.svg|right|thumb|Кусково-лінійна функція]]
[[Файл:Finite element method 1D illustration1.svg|right|thumb|Функція (синя) і її кусково-лінійна [[апроксимація]] (червона).]]
[[Файл:Piecewise linear function2D.svg|right|thumbnail|Кусково-лінійна функція у двох вимірах (вгорі) й опуклі багатогранники<!-- convex polytopes -->, на яких вона лінійна (внизу).]]
'''Кусково-лінійна функція'''&nbsp;— функція, визначена на множині [[Дійсне число|дійсних чисел]], [[Лінійна функція|лінійна]] на кожному з [[Інтервал (математика)|інтервалів]], що становлять область визначення.

== Формальне визначення й задавання ==
Нехай задані <math>x_1<x_2<\ldots<x_n</math>&nbsp;— точки зміни формул.

Як і всі [[Кусково-задана функція|кусково-задані функції]], кусково-лінійну функцію зазвичай задають на кожному з інтервалів <math>(-\infty; x_1), (x_1; x_2); \ldots (x_n;+\infty)</math> окремою формулою. Записують це у вигляді:
<math>
f(x)=
\begin{cases}
  k_0 x+b_0,\quad x<x_1\\
  k_1 x+b_1,\quad x_1<x<x_2\\
  \cdots\\
  k_n x+b_n,\quad x_n<x
\end{cases}
</math>

Якщо до того ж виконані ''умови узгодження''
: <math>a_{i-1}x_i+b_{i-1}=a_ix_i+b_i=f(x_i)</math> при <math>i=1,2,\ldots,n</math>,
то кусково-лінійна функція буде [[Неперервна функція|неперервною]]. Неперервна кусково-лінійна функція називається також лінійним [[сплайн]]ом.

== Альтернативне задавання ==
Можна довести, що будь-яку неперервну кусково-лінійну функцію можна задати деякою формулою виду
: <math>f(x)=a x+ b + c_1|x-x_1| + c_2|x-x_2| + \ldots +c_n|x-x_n|</math>.
При цьому всі коефіцієнти, крім ''b'', можна виразити через [[Кутовий коефіцієнт прямої|кутові коефіцієнти]] нахилу прямих на окремих інтервалах:
: <math>c_i=\frac{k_i-k_{i-1}}{2}</math>, при <math>i=1,2,\ldots,n</math>
: <math>a=\frac{k_0+k_n}{2}</math>

== Властивості ==
* Будь-яку неперервну функцію можна апроксимувати як завгодно близько кусково-лінійною функцією (у безперервній метриці).

== Див. також ==

* [[Лінійна інтерполяція]]
* [[Сплайн-інтерполяція]]

== Джерела ==
* Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И.&nbsp;Л.&nbsp;Никольская.&nbsp;— М.: Просвещение, 1991.&nbsp;— С. 272–274.&nbsp;— 383 с.&nbsp;— ISBN 5-09-001287-3
* [https://web.archive.org/web/20100412075113/http://slovari.yandex.ru/dict/lopatnikov/article/lop/lop-0666.htm Кусково-лінійні функції] у словнику

== Посилання ==
* [http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/4593e3c3-2ce5-406e-b157-a669514afd77/Index_kus_lin.html Завдання за темою Кусково-лінійні функції] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20090220200904/http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/4593e3c3-2ce5-406e-b157-a669514afd77/Index_kus_lin.html |date=20 лютого 2009 }}

[[Категорія:Типи функцій]]