Перегляд вихідного коду сторінки Модулярна група

[[Файл:ModularGroup-FundamentalDomain-01.png|300px|right]]
'''Модулярна група''' — [[група (алгебра)|група]] <math>\Gamma</math> всіх [[дробово-лінійне перетворення|дробово-лінійних перетворень]] виду
: <math>z\mapsto\frac{az+b}{cz+d},</math>
де <math>a,\;b,\;c,\;d</math> — [[цілі числа]], причому <math>\ ad-bc=1</math>.

Модулярна група ототожнюється з [[факторгрупа|факторгрупою]] <math>SL(2,\;\Z)/\{I,\;-I\}</math>. Тут <math>SL(2,\;\Z)</math> — [[спеціальна лінійна група]].
: <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix},</math>
де <math>a,\;b,\;c,\;d</math> — цілі числа <math>\ ad-bc=1</math>.

== Властивості ==

Модулярна група є [[дія групи|дискретною групою перетворень]] [[Верхня півплощина|верхньої комплексної півплощини]] <math>H=\{z:\mathrm{Im}\,z>0\}</math> і допускає подання твірними:
: <math>S:z\mapsto -1/z,</math>
: <math>T:z\mapsto z+1</math>
і співвідношеннями <math>S^2=(ST)^3=1</math>, тобто є вільним добутком [[циклічна група|циклічної групи]] [[порядок (теорія груп)|порядку]] 2, [[породжуюча множина групи|породженої]] <math>S</math>, і циклічної групи порядку 3, породженої <math>ST</math>.

Для довільного перетворення <math>g(z) = \frac{az+b}{cz+d}</math> з модулярної групи справедлива рівність:
: <math>\mathrm{Im}\,g(z)=\frac{\mathrm{Im}\,z}{|cz+d|^2}.\qquad\qquad(1)</math>
Оскільки уявна частина <math>z</math> ненульова, а числа <math>c</math> і <math>d</math> — [[цілі числа|цілі]], не рівні нулю одночасно, то величина <math>|cz+d|^2</math> відокремлена від нуля (не може бути як завгодно малою). Це означає, що в орбіті будь-якої точки є така, на якій уявна частина досягає свого максимуму.

== Фундаментальна область ==

[[Фундаментальна область]] (канонічна) модулярної групи — це замкнута область
: <math>D=\{z\in H:|z|\geqslant 1,\;|\mathrm{Re}\,z|\leqslant 1/2\}.</math>
Легко перевірити, використовуючи (1), що перетворення модулярної групи не збільшують уявну частину точок з <math>D</math>. З цього виходить, що для того, щоб дві точки <math>z,\;g(z)</math> належали <math>D</math>, їх уявна частина повинна бути однакова: <math>|cz+d|^2=1</math>. Таким умовам відповідають наступні перетворення і точки:
#<math>g(z)=z,\;z</math> — будь-яка точка;
#<math>g(z)=z-1,\;\mathrm{Re},z=1/2;</math>
#<math>g(z)=z+1,\;\mathrm{Re},z=-1/2;</math>
#<math>g(z)=-1/z,\;|z|=1.</math>
Зокрема, всі точки області <math>D</math> мають тривіальний [[стабілізатор (теорія груп)|стабілізатор]], окрім трьох:
#<math>\mathrm{St}(i)=\{1,\;S\};</math>
#<math>\mathrm{St}(e^{2\pi i/3})=\{1,\;ST,\;(ST)^2\};</math>
#<math>\mathrm{St}(-e^{-2\pi i/3})=\{1,\;TS,\;(TS)^2\}.</math>
Крім того, з цього випливає що при факторизації верхньої півплощини по дії модулярної групи [[внутрішня точка|внутрішні точки]] <math>D</math> відображаються [[ін'єктивність|ін'єктивно]], тоді як [[гранична точка|граничні]] — склеюються з точками, «дзеркальними» до них відносно прямої <math>\mathrm{Re}\,z=0</math>.

== Література ==
* {{Курош.Теорія груп}}
* Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0

[[Категорія:Аналітична теорія чисел]]
[[Категорія:Теорія груп]]
[[Категорія:Комплексний аналіз]]