Нормальна форма Чибраріо

Нормальна форма Чибраріо — нормальна форма диференціального рівняння, нелінійного за похідною, в околі найпростішої особливої точки. Назву запропоновано В. І. Арнольдом, на честь італійського математика Марії Чибраріо, що встановила цю нормальну форму для одного класу рівнянь.

Нехай диференціальне рівняння має вигляд

$F(x,y,p)=0,\$ где $p={\frac {dy}{dx}}.$

Функція $F$ є дійсною, гладкою класу $C^{\infty }$ (або аналітичною) за сукупністю всіх трьох змінних. Особливі точки такого рівняння — це точки тривимірного простору з координатами $(x,y,p)$, що лежать на поверхні, що задається рівнянням $F=0$, в яких похідна $F_{p}$ дорівнює нулю, тобто проектування $\pi$ поверхні $\{F=0\}$ на площину змінних $x,y$ вздовж напрямку осі $p$ є нерегулярним. У загальному випадку множина особливих точок утворює на поверхні $\{F=0\}$ криву, що називають кримінантою. Проєкція кримінанти на площину $(x,y)$ називається дискримінантною кривою, її точки теж часто називають особливими точками рівняння, хоча при цьому можлива неточність: при проектуванні $\pi$ різним точками поверхні $\{F=0\}$ може відповідати одна і та ж точка площині змінних $(x,y)$.

Теорема про нормальну форму

Найпростішими особливими точками рівняння $F(x,y,p)=0$ є так звані регулярні особливі точки, в яких проектування $\pi$ має особливість, яка називається складкою Вітні, і контактна площина не торкається поверхні $F=0.$ Це рівнозначно виконанню в даній точці умов:

$F=0,\quad F_{p}=0,\quad F_{pp}\neq 0,\quad F_{x}+pF_{y}\neq 0.$

Теорема. В околі регулярної особливої точки рівняння $F(x,y,p)=0$ з гладкою (або аналітичною) функцією $F$ гладко (відповідно, аналітично) еквівалентно рівнянню $p^{2}-x=0,$ що називають нормальною формою Чибраріо

Приклади

Нормальна форма Чибраріо є характеристичним рівнянням для рівняння Трикомі

$u_{xx}-xu_{yy}=0$,

що відноситься до еліптичного типу в напівплощині $x<0$ і до гіперболічного — в напівплощині $x>0$.

Рівняння $p^{2}-x=0$ легко інтегрується: графіки його розв'язків утворюють сімейство напівкубічних парабол

$y=\pm {\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}+{\rm {const,}}$

які заповнюють напівплощину $x>0$, каспи яких лежать на дискримінантній кривій — осі $y$.