Перегляд вихідного коду сторінки Правильний трикутник

{| class="wikitable" bgcolor="#ffffff" cellpadding="5" align="right" style="margin-left:10px" width="300"
!bgcolor=#e7dcc3 colspan=2|Правильний трикутник
|-
|align=center colspan=2|[[Файл:Regular polygon 3 annotated.svg|247x247пкс]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''Тип'''||[[Правильний багатокутник]]
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''Властивості'''||[[Опуклий многокутник|Опуклий]], [[Рівносторонній многокутник|рівносторонній]]
|-
| bgcolor="#e7dcc3" |'''Елементи'''|| 3 [[Ребро (геометрія)|ребра]]<br/>3 [[Вершина (геометрія)|вершини]]
|-
| colspan="2" bgcolor="#E6E6FA" align="center"|<big>'''Позначення'''</big>
|-
|bgcolor="#e7dcc3" |'''[[Символ Шлефлі]]'''|| {3}
|-
|bgcolor=#e7dcc3| '''[[Діаграми Коксетера — Динкіна|Діаграма Коксетера-Динкіна]]''' ||
{{ДКД|node_1|3|node}} або (x3o)
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Список груп сферичної симетрії|Група симетрії]]'''|| D<sub>3</sub>, порядок 6 ([[Діедральна група]])
|-
|bgcolor=#e7dcc3|'''[[Дуальний многогранник|Двоїстий]]'''||Самодвоїстий
|}
'''Правильний трикутник''' ('''тригон''' від [[Грецька мова|грец.]] ''<abbr>τρεῖς</abbr>'' - три та ''<abbr>γωνία</abbr>'' -''кут'') — [[трикутник]], у якого всі сторони і кути рівні. Тому його також називають '''рівностороннім трикутником'''.

Також, '''правильний трикутник''' — [[геометрична фігура]], [[Правильний многокутник|правильний багатокутник]] з трьома сторонами.

Усі внутрішні кути правильного трикутника дорівнюють 60° (або {{sfrac|<math>\pi</math>|'''3'''}} [[радіан]]).

''Правильний трикутник'' має три ліній [[Відбиття (геометрія)|дзеркальної симетрії]], що проходять через його висоти, і [[Обертова симетрія|обертову симетрію]] 3-го порядку навколо центра О (на кути 60°, 120° і 360°), тобто група рухів (самосуміщень) площини для правильного трикутника складається з 6 елементів.

== Формули ==
[[Файл:Правильний трикутник.png|ліворуч|безрамки|255x255пкс]]
Нехай сторона правильного трикутника дорівнює <big><math>a</math></big>. Тоді:

'''[[Периметр]]''':  <math>P=3a\,\!</math>;

'''[[Висота трикутника]]''' ‒ відстань від вершини до протилежної сторони: <math>h=\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a = 3\cdot r = \frac{3}{2} \cdot R </math>;

<math>h = r + R </math>

'''[[Апофема]]''' ‒ відстань від центру до сторони: <math>a_p= r = \frac{1}{3}\cdot h</math>

'''Радіус [[Вписане коло|вписаного кола]]''' (дотикається до всіх його сторін):

<math>r= \frac{\sqrt{3}}{6}\cdot a = \frac{1}{2}\cdot R = \frac{1}{3}\cdot h</math>;

'''Радіус [[Описане коло|описаного кола]]''' ‒ проходить через всі його вершини:

<math>R= \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot a = 2 \cdot r = \frac{2}{3} \cdot h</math>

'''Радіус [[Зовнівписане коло|зовнівписаного кола]]''' ‒ дотикається до сторони та продовження двох інших сторін:

<math>r_a =\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a = 3\cdot r = \frac{3}{2} \cdot R = h </math>

'''[[Площа]]''' правильного трикутника:  <math>S = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot a^2 = 3\sqrt{3} \cdot r^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \cdot R^2 = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot h^2 </math>

Усі ці формули можна вивести з [[Теорема Піфагора|теореми Піфагора]].

== Властивості ==

* Правильний трикутник має всі властивості, притаманні [[Правильний многокутник|правильному багатокутнику]] та [[трикутник]]у.
* Правильний трикутник є одночасно і [[Рівносторонній многокутник|рівностороннім]] і [[Рівнокутний многокутник|рівнокутним]] (за означенням).
* В правильному трикутнику його [[Висота трикутника|висоти]] збігаються з його [[Медіана трикутника|медіанами]] та [[Бісектриса|бісектрисами кутів]]. Висоти, медіани та бісектриси перетинаються в одній точці - центрі правильного трикутника, яка лежить на його висоті  на відстані {{sfrac|1|3}} h від основи, тобто точкою перетину діляться у відношенні <math>1:2</math>  від основи.
* Центри вписаного та описаного кола збігаються і лежать в центрі правильного трикутника.
* В правильному трикутнику всі [[чудові точки трикутника]] знаходяться в його геометричному центрі. Це означає, що рівносторонній трикутник є єдиним трикутником, у якого немає [[Лінія Ейлера|лінії Ейлера]]. 
** Трикутник є рівностороннім, якщо збігаються будь-які два з його центрів:[[Описане коло|центр описаного кола]], інцентр ([[центр вписаного кола]]), [[центроїд]] або [[ортоцентр]].<ref>{{cite web |last1=Yiu |first1=Paul |title=Notes on Euclidean Geometry |website=Florida Atlantic University, Department of Mathematical Sciences |type=Course Notes |date=1998 |url=http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf |access-date=2023-07-16 |archive-date=2019-03-02 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190302221424/http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf |url-status=dead }}</ref>{{rp|стор.37}}
**Він також є рівностороннім, якщо його центр описаного кола збігається з [[Точка Наґеля|точкою Наґеля]] або якщо його центр вписаного кола збігається з [[Центр кола дев'яти точок|центром кола дев’яти точок]].<ref name="Andreescu">{{cite book |last1=Andreescu 
|first1=Titu 
|last2=Andrica 
|first2=Dorian 
|title=Complex Numbers from A to...Z 
|date=2006 
|publisher=Birkhäuser 
|location=Boston, MA |pages=70, 113–115 |url=https://archive.org/details/complexnumbersfr0000andr |url-access=registration 
|isbn=978-0-8176-4449-9 
|doi=10.1007/0-8176-4449-0 
|oclc=871539199 
|s2cid=118951675 }}</ref>
* В правильному трикутнику [[коло дев'яти точок]] збігається з вписаним колом.
* Правильні трикутники є гранями для 8 опуклих багатогранників: трьох [[Правильний многогранник|тіл Платона]] ([[Правильний тетраедр|правильного тетраедра]], [[октаедр]]а та [[ікосаедр]]а), а також п'яти [[Правильногранний многогранник|тіл Джонсона]]. Багатогранники, всі грані яких - правильні трикутники, називаються [[Дельтаедри|дельтаедрами]]. 
* Також правильний трикутник є гранню для одного [[Тіло Кеплера — Пуансо|тіла Кеплера-Пуансо]], а саме [[Великий ікосаедр|великого ікосаедра]].
* Правильний трикутник ‒ один із двох правильних багатокутників, що не має [[Ззірчення|зірчастої форми]]; інший — [[квадрат]].
[[Файл:Tiling 3 simple.svg|міні|187x187пкс|Паркет з рівносторонніх трикутників]]
* Правильними трикутниками можна [[Теселяція|замостити площину]] без проміжків та накладень. Також в усіх {{Не перекладено|Мозаїки з опуклих правильних багатокутників на евклідовій площині|напівправильних мозаїках|en|Euclidean tilings by convex regular polygons}} присутній рівносторонній трикутник <ref>{{Cite journal|last1=Grünbaum Branko|last2=Shepard Geoffrey|date=November 1977|title=Tilings by Regular Polygons|url=http://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Allendoerfer/1978/0025570x.di021102.02p0230f.pdf|journal=Mathematics Magazine|publisher=Taylor & Francis, Ltd.|volume=50|issue=5|page=231–234|doi=10.2307/2689529|jstor=2689529|mr=1567647|zbl=0385.51006|s2cid=123776612|access-date=2023-07-16|archive-date=2016-03-03|archive-url=https://web.archive.org/web/20160303235526/http://www.maa.org/sites/default/files/images/upload_library/22/Allendoerfer/1978/0025570x.di021102.02p0230f.pdf|url-status=dead}}</ref>.
* Правильний трикутник є першим в нескінченній родині [[Правильний многокутник|правильних багатокутників]], та третім в нескінченному сімействі n- [[симплекс]]ів, при n = 2.<ref>{{Cite book |author=H. S. M. Coxeter |url=https://archive.org/details/regularpolytopes0000hsmc |url-access=registration |title=Regular Polytopes |publisher=Methuen & Co. LTD.|year=1948 |location=London |pages=120-121 |oclc=4766401 |zbl=0031.06502}}</ref>

=== Теореми, пов'язані з правильним трикутником ===
* [[Теорема Вівіані]]:
{{рамка}}У будь-якому рівносторонньому трикутнику ABC сума відстаней від будь-якої внутрішньої точки трикутника до його сторін дорівнює висоті трикутника. 
{{/рамка}}
* [[Теорема Морлі]]:
{{рамка}}Точки перетину суміжних трисектрис кутів довільного [[трикутник]]а є вершинами рівностороннього трикутника.
{{/рамка}}
* [[Теорема Наполеона]]:
{{рамка}}Якщо на кожній стороні [[трикутник]]а побудувати [[рівносторонній трикутник]] (або всі три назовні, або всі три всередину), то їхні центри будуть вершинами іншого рівностороннього трикутника.
{{/рамка}}
* [[Теорема Помпею]]:
{{рамка}}Для довільного [[Рівносторонній трикутник|рівностороннього трикутника]] <math>\scriptstyle ABC</math> та довільної точки <math>\scriptstyle P</math> в його площині відрізки <math>\scriptstyle PA</math>, <math>\scriptstyle PB</math> та <math>\scriptstyle PC</math> є сторонами трикутника (можливо, виродженого).
{{/рамка}}
* [[Теорема Тебо|Теореми Тебо 2 и 3]]
* Для будь-якого трикутника три медіани ділять трикутник на шість менших трикутників.
*#Трикутник є рівностороннім [[Тоді й лише тоді|тоді і тільки тоді]], коли будь-які три менших трикутника мають однаковий периметр або однаковий [[радіус]].<ref name=Cerin>{{cite journal|last1=Cerin|first1=Zvonko|title=The vertex-midpoint-centroid triangles|journal=Forum Geometricorum|date=2004|volume=4|pages=97–109|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200413.pdf|access-date=2023-07-16|archive-date=2013-06-18|archive-url=https://web.archive.org/web/20130618003950/http://forumgeom.fau.edu/FG2004volume4/FG200413.pdf|url-status=dead}}</ref>{{rp|Теорема 1}}
*#Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли центри описаного кола будь-яких трьох менших трикутників знаходяться на однаковій відстані від центроїда.<ref name=Cerin/>{{rp|Наслідок7}}
*На плошині дано трикутник і довільну точку P.

<math>p</math>, <math>q</math> , <math>r</math> ‒ відстані від точки P до сторін трикутника;    <math>x</math>, <math>y</math> , <math>z</math> ‒ відстані від точки P до вершин трикутника.

Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли для кожної точки P площини виконується нерівність:<ref name=Crux>{{cite web|title=Inequalities proposed in "Crux Mathematicorum"|url=http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/math4u/ineq.pdf}}</ref> {{rp|стор.178,#235.4}}<math display="block">4\left(p^2 + q^2 + r^2\right) \geq x^2 + y^2 + z^2.</math>

== Геометрична побудова ==
[[Файл:Equilateral triangle construction.svg|200px|thumb|Креслення рівнобічного трикутника за допомогою циркуля та лінійки.]]
[[Файл:Equilateral Triangle Inscribed in a Circle.gif|ліворуч|міні|266x266пкс]]
Рівносторонній трикутник можна накреслити [[Побудова за допомогою циркуля та лінійки|за допомогою циркуля та лінійки]]. Для цього необхідно виконати такі дії:

# Провести [[Пряма|пряму]] та поставити на неї циркуль гострим кінцем;
# Провести коло;
# Поставити циркуль в одну із точок перетину кола та прямої, провести ще одне коло такого ж радіусу;
# З'єднати прямими центри кіл та точку перетину цих кіл.

'''Альтернативний спосіб''':

# Накреслити коло довільного радіусу;
# Поставити циркуль на це коло і накреслити ще одне коло такого ж радіусу;
# Ці два кола перетинаються в двох точках, кожна з точок перетину разом із центрами кіл утворюють правильні трикутники.

== Див. також ==
* [[Задача про голку]]
* [[Правильний многокутник]]
* [[Трикутник]]
* [[Трикутне число|Трикутні числа]]
* [[Трикутний паркет]]

== Примітки ==
<references></references>

== Джерела ==
* ''Бевз Г. П.'' Геометрія трикутника.&nbsp;— К.: Генеза, 2005. —120 с.: іл. — ISBN 966-504491-1
* [https://www.mathros.net.ua/equilateral-triangle.html Рівносторонній трикутник: означення, властивості, приклади]

== Посилання ==

* Politope Wiki. [https://polytope.miraheze.org/wiki/Triangle Triangle]
* Weisstein, Eric W.[https://mathworld.wolfram.com/Triangle.html Triangle.] ''MathWorld''.

{{Трикутник}}
{{Многокутники}}
{{Основні опуклі правильні й однорідні політопи в розмірностях 2-10}}
{{ВП-портали|Математика}}

[[Категорія:Правильні многокутники|Трикутник]]