Числовий ряд

Основні означення

Нехай $\{a_{n}\colon n\geqslant 1\}$ — деяка послідовність дійсних чисел. Для кожного $n\in \mathbb {N}$ визначена скінченна сума цих елементів

$S_{n}:\,=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}$.

Означення. Дві числові послідовності $\{a_{n}\colon n\geqslant 1\}$ та $\{S_{n}\colon n\geqslant 1\}$ називаються числовим рядом и позначаються

$a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.    (1)

Число $a_{n}$ називається n-тим членом, а число $S_{n}$ — n-тою частковою сумою ряду (1). Якщо числова послідовність часткових сум $\{S_{n}\colon n\geqslant 1\}$ збігається до деякого дійсного числа $S$, то числовий ряд (1) називається збіжним, а число $S$ — сумою цього ряду, позначається

$S=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$.

Якщо послідовність $\{S_{n}\colon n\geqslant 1\}$ скінченої границі не має, то числовий ряд (1) називається розбіжним.

Теорема 01. Якщо числовий ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

збігається, то

$a_{n}\rightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$

Доведення. $\vartriangleright$ Дійсно, оскільки $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$, $n\geqslant 2$ та $S_{n}\rightarrow S\in \mathbb {R}$, $n\rightarrow \infty$, то $a_{n}\rightarrow S-S=0$, $n\rightarrow \infty$. $\vartriangleleft$

Теорема 02. Якщо числовий ряд

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$

збігається, то

$a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n}\rightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$

Доведення. $\vartriangleright$ Розглянемо $a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{2n}=S_{2n}-S_{n}\rightarrow S-S=0$, $n\rightarrow \infty$. $\vartriangleleft$

Теореми 01 та 02 дають необхідні умови сбіжності ряду (1).

Приклад 01. Ряди

$1+1+1+\cdots +1+\cdots$,    (2)
$1-1+1-\cdots +(-1)^{n+1}+\cdots$    (3)

є розбіжними згідно з теоремою 01. Дійсно, $a_{n}=1\nrightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$ у випадку ряду (1) та $a_{n}=(-1)^{n+1}\nrightarrow 0$ у випадку ряду (2).

Приклад 02. Геометричний ряд для $x\in \mathbb {R}$ має вигляд

$1+x+x^{2}+\cdots +x^{n}+\cdots$.    (4)

Його частова сума

$S_{n}={\begin{cases}n,&x=1;\\{\frac {1-x^{n}}{1-x}},&x\neq 1\end{cases}}$

для $n\geqslant 1$.

$\vartriangleright$ Якщо $|x|<1$ то $x^{n}\rightarrow 0$, $n\rightarrow \infty$. Тобто, при $|x|<1$ ряд (4) збігається до суми ${\frac {1}{1-x}}$:

$1+x+x_{2}+\cdots +x_{n}+\cdots ={\frac {1}{1-x}}$, $|x|<1$.

При $|x|\geqslant 1$ послідовність $\{S_{n}\colon n\geqslant 1\}$ скінченної границі не має, отже при $|x|\geqslant 1$ ряд (4) розбігається.$\vartriangleleft$

Література

• Дороговцев А. Я. Математический анализ: Справочное пособие. К.: Вища шк. Головное изд-во, 1985.
• Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 4. Советская энциклопедия, 1984.