Ряд (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Числовий ряд)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Ряд — в математиці, це операція додавання нескінченної кількості величин, послідовно одна за одною, починаючи із заданої величини.

Для кожного ряду зазвичай розглядають послідовності часткових сум (ряду) та елементів (ряду).

Розглядаються числові ряди двох видів:

Важливіше питання дослідження числових рядів — це збіжність числових рядів. Числові ряди застосовуються як система наближень до чисел. Узагальненням поняття ряду є поняття подвійного ряду[ru].

Тривалий час, думка про те, що така потенційно нескінченна сума може мати скінченний результат, математиками і філософами розглядалася як парадокс. Цей парадокс було вирішено з виникненням поняття границі під час 19-го століття. Парадокс Зенона про Ахілла та черепаху ілюструє цю контрінтуїтивну властивість скінченних рядів: Ахілл біжить услід за черепахою, але коли він наздоганяє черепаху на початку гонки, вона вже досягає другої позиції; коли він досягає другої позиції черепахи, вона буде вже на третій позиції, і так далі. Зенон розрахував, що Ахілл ніколи не зможе досягнути черепаху, і що таким робом такого моменту не існує. Зенон розділив цю гонку на нескінченно велику кількість частин гонки, кожна з яких займає скінченну частину часу, так, що загальний час, за який Ахілл добіжить до черепахи, заданий рядом. Вирішенням цього парадоксу є те, що, хоча ряд має нескінченно велику кількість елементів, він має скінченну суму, яка і є тим часом, за який Ахілл наздожене та впіймає черепаху.

У сучасній термінології, будь-яка (впорядкована) нескінченна послідовність з термів (що можуть бути числами, функціями, або будь-чого, що може додаватися) визначає ряд, який є операцією додавання між собою. Аби підкреслити те, що існує нескінченна кількість термів, ряд може називатися нескінченним рядом. Такий ряд записується у вигляді такого математичного виразу:

.

Загалом поняття ряду виникло з поняття кільця, що часто є полем дійсних чисел або полем комплексних чисел. У такому разі множина всіх рядів сама собою є кільцем (або навіть асоціативною алгеброю), у якій операція додавання визначає додавання рядів поелементно, терм за термом, а множення є операцією добутку Коші.

Визначення

[ред. | ред. код]

Нехай   — послідовність; розглянемо також послідовність

кожен елемент якої є n-тою частковою сумою членів початкової послідовності

Рядом називається сукупність цих двох послідовностей. Позначається:

Тоді, за визначенням:

  • Числовий ряд збігається, якщо збігається послідовність його часткових сум;
  • Числовий ряд розбігається, якщо розбігається послідовність його часткових сум;
  • Числовий ряд збігається абсолютно, якщо збігається ряд з модулів його членів.

Якщо числовий ряд збігається, то границя послідовності його часткових сум має назву суми ряду:

Ознаки збіжності

[ред. | ред. код]
Докладніше: Ознаки збіжності

Необхідні умови збіжності

[ред. | ред. код]
Теорема 01

Якщо числовий ряд

збігається, то кінцевий член ряду

,

Доведення. Дійсно, оскільки , та , , то , .

Теорема 02

Якщо числовий ряд

збігається, то залишок ряду

,

Доведення. Розглянемо , .

Теореми 01 та 02 дають необхідні умови збіжності ряду (1).

Критерій Коші

[ред. | ред. код]

Для того щоб ряд (1) збігався, необхідно і достатньо, щоб

.

Цей критерій являє собою критерій Коші для числовой послідовності .

Критерій абсолютної збіжності

[ред. | ред. код]

Ряд з дійсних чисел збігається абсолютно тоді й тільки тоді, коли збігаються обидва ряди: ряд з додатних його членів і ряд з від'ємних членів.

Операції над рядами

[ред. | ред. код]

Нехай задано два збіжні ряди та . Тоді:

  • Їхньою сумою називається ряд і його сама рівна .
  • Їхнім добутком за Коші називається ряд , де

Якщо обидва ряди збігаються абсолютно, то добуток рядів збігається.

Приклади числових рядів

[ред. | ред. код]

Приклад 01. Ряди

є розбіжними згідно з теоремою 01. Дійсно, , у випадку ряду (1) та у випадку ряду (2).

Приклад 02. Доведемо, що

Дійсно, для

.

Отже, , .

  • Геометричний ряд — це такий ряд, ц якому кожен наступний елемент утворений множенням попереднього на стале число (що зветься сталим відношенням ряду). Наприклад:
Загалом геометричний ряд
збігається тоді й тільки тоді, коли .
Гармонічні ряди є розбіжними, оскільки за теоремою 02 .
  • Знакозмінний ряд — це ряд, у якому елементи можуть змінювати свій знак. У таких рядах доданки є як додатні, так і від'ємні. Наприклад:
(знакозмінний гармонічний ряд)

і

  • Узагальнений гармонічний ряд або p-ряд:
збігається, коли p > 1, і є розбіжним, коли p ≤ 1. Функція відносно p, що є сумою цього ряду є дзета-функцією Рімана.
збігається, якщо послідовність bn збігається до границі L, притому як n прямує до нескінченності. Значення ряду тоді дорівнюватиме b1L.

Апроксимація числа π за допомогою ряду

Натуральний логарифм 2

[ред. | ред. код]

Натуральний логарифм за основою e

[ред. | ред. код]
Докладніше: e (число)

Література

[ред. | ред. код]
  • Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
  • Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2300+ с.(укр.)
  • Зорич В. А. Математический анализ. — 10-е. — М : МЦНМО, 2019. — Т. 1. — 564 с. — ISBN 978-5-4439-4029-8.(рос.)
  • Ряди // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 496. — 594 с.
  • Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)