Числовий ряд

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Числовий ряд — ряд, елементами якого є числа.

Нехай  — деяка числова послідовність. Для кожного визначена скінченна сума

Дві числові послідовності та називаються числовим рядом і позначаються

Число називається n-тим членом, а число  — n-тою частковою сумою ряду.

Якщо послідовність часткових сум збігається до деякого числа (див. Границя числової послідовності), то числовий ряд називається збіжним, а число  — називається сумою цього ряду, і позначається

.

Якщо ж скінченної границі не існує, то числовий ряд називається розбіжним.

Теореми[ред.ред. код]

Теорема 01. Якщо числовий ряд

збігається, то

,

Доведення. Дійсно, оскільки , та , , то , .

Теорема 02. Якщо числовий ряд

збігається, то

,

Доведення. Розглянемо , .

Теореми 01 та 02 дають необхідні умови збіжності ряду (1).

Приклад 01. Ряди

,    (2)
    (3)

є розбіжними згідно з теоремою 01. Дійсно, , у випадку ряду (1) та у випадку ряду (2).

Приклад 02. Геометричний ряд для має вигляд

.    (4)

Його часткова сума

для .

Якщо то , . Тобто, при ряд (4) збігається до суми :

, .

При послідовність скінченної границі не має, отже при ряд (4) розбігається.

Приклад 03. Доведемо, що

Дійсно, для

.

Отже, , .

Приклад 04. Гармонічний ряд має вигляд

Доведемо, що цей ряд розбігається. Використовуючи теорему 02, при матимемо

.

Таким чином, , . Оскільки послідовність зростає та не має границі, то , . Проте зростання із зростанням відбувається дуже повільно. Л. Ейлер підрахував, що . Варто також звернути увагу, що члени гармонійного ряду прямують до нуля при , тобто необхідна умова збіжності виконується.

Властивості збіжних рядів[ред.ред. код]

1. Нехай ряд

збігається до суми . Тоді для будь-якого ряд

теж збігається і має суму , тобто

.

Доведення випливає з означень.

2. Нехай ряди

та

збігаються до сум та відповідно. Тоді ряд

збігається до суми , тобто

.

Означення. Для ряду

    (1)

та числа ряд

    (2)

називається залишком вихідного ряду. Якщо ряд (2) збігається, то — сума залишку.

3. Якщо ряд (1) збігається до суми , то збігається будь-який його залишок, причому

.

Якщо для деякого збігається залишок (2), то ряд (1) збігається.

4. Критерій Коші збіжності числового ряду. Для того щоб ряд (1) збігався, необхідно і достатньо, щоб

.

Цей критерій являє собою критерій Коші для числовой послідовності .

Дивись також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Дороговцев А. Я. Математический анализ: Справочное пособие. К.: Вища шк. Головное изд-во, 1985.
  • Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 4. Советская энциклопедия, 1984.
  • С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.