Метричний тензор

Вимірювання відстані в координатах

Величини, які стосуються геометрії - це відстані, довжини кривих, площі та об'єми (в тому числі $m$-вимірні об'єми) геометричних фігур, а також кути між векторами, прямими і т.д. Розглянемо спочатку прямокутну декартову систему координат $\{x^{1},x^{2},\dots x^{n}\}$ в $n$-вимірному просторі. Як відомо з аналітичної геометрії, квадрат відстані між двома точками $A$ і $B$ дається наступною формулою, яка є узагальненням теореми Піфагора:

$(1)\qquad {\big |}AB{\big |}^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{B}^{i}-x_{A}^{i})^{2}=(x_{B}^{1}-x_{A}^{1})^{2}+(x_{B}^{2}-x_{A}^{2})^{2}+\dots +(x_{B}^{n}-x_{A}^{n})^{2}$

де індексами внизу позначено, до якої точки дана координата відноситься.

Ми не можемо безпосередньо поширити формулу (1) на вимірювання довжин кривих (оскільки довжина залежить не тільки від положення двох крайніх точок, але і від положення усіх проміжних точок), а також для вимірювання всередині кривих многовидів (оскільки в них навіть не існує декартової системи координат). Але в обох цих випадках аналогічну формулу ми можемо написати для двох нескінченно близьких точок. Позначимо їх - точка $P$ з координатами $\{x^{1},x^{2},\dots x^{n}\}$ і точка $P'$ з координатами $\{x^{1}+dx^{1},x^{2}+dx^{2},\dots x^{n}+dx^{n}\}$. Відстань між цими точками позначимо $ds$, тоді формула (1) в нових позначеннях (диференціалах) перепишеться так:

$(2)\qquad ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(dx^{i}\right)^{2}$

Якщо від прямокутної декартової системи координат перейти в будь-яку іншу, в загальному випадку криволінійну, то вид формули (2) як суми квадратів не збережеться. Позначимо координати нової системи $\{u^{1},u^{2},\dots u^{n}\}$. Тоді диференціали старих і нових координат пов'язані формулами:

$(3)\qquad dx^{i}=\sum _{j=1}^{n}{\partial x^{i} \over \partial u^{j}}du^{j}\qquad du^{i}=\sum _{j=1}^{n}{\partial u^{i} \over \partial x^{j}}dx^{j}$

і для квадрат\а відстані (2) ми одержуємо квадратичну форму щодо диференціалів нових координат:

$(4)\qquad ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{n}\left({\partial x^{i} \over \partial u^{j}}du^{j}\right)\left({\partial x^{i} \over \partial u^{k}}du^{k}\right)=\sum _{j,k=1}^{n}g_{jk}du^{j}du^{k}$

де коефіцієнти $g_{jk}$ дорівнюють сумі:

$(5)\qquad g_{jk}=\sum _{i=1}^{n}{\partial x^{i} \over \partial u^{j}}{\partial x^{i} \over \partial u^{k}}$

В формулах (3), (4) всі суми беруться по індексах, що повторюються в межах від першого (1) до останнього індекса ($n$). Тому для спрощення виду формул доцільно в цих формулах не писати знак суми (правило Ейнштейна). З використанням правила Ейнштейна формула (4) запишеться так:

$(6)\qquad ds^{2}=g_{ij}du^{i}du^{j}$

Вимірювання відстані на многовиді, вміщеному в евклідовий простір

Нехай маємо $N$-вимірний евклідовий простір з координатами $\{x^{1},x^{2},\dots x^{N}\}$. Радіус-вектор точки позначимо через $\mathbf {r}$:

$(7)\qquad \mathbf {r} =\{x^{1},x^{2},\dots x^{N}\}$

Розглянемо в цьому просторі $n$-вимірний многовид, заданий параметрично через $\{u^{1},u^{2},\dots u^{n}\}$. Точки многовида визначаються через деякі функції радіус-вектора від цих параметрів:

$(8)\mathbf {r} =\mathbf {r} (u^{1},u^{2},\dots u^{n})$

Тоді дві близькі точки многовида утворюють вектор зміщення:

$(9)\qquad d\mathbf {r} =\mathbf {r} _{i}du^{i}\qquad \left(\mathbf {r} _{i}={\partial \mathbf {r} \over \partial u^{i}}\right)$

а квадрат відстані дорівнює скалярному квадрату вектора зміщення:

$(10)\qquad ds^{2}=(d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} )=(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j})du^{i}du^{j}=g_{ij}du^{i}du^{j}$

Тобто ми знову отримали формулу (6), але коефіцієнти даються іншими аніж (5) по виду, але аналогічними формулами:

$(11)\qquad g_{ij}=(\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j})$

Дійсно, розписавши скалярний добуток в (11) як суму попарних добутків компонент векторів $\mathbf {r} _{i}$ і $\mathbf {r} _{j}$, ми одержимо (5), але кількість доданків буде взагалі кажучи більшою: $N\geq n$. Рівність досягається, коли многовид є евклідовим простором, який вміщено сам в себе.

Перетворення при заміні координат

Нехай на многовиді задано ще одну (нову) систему координат $\{{\hat {u}}^{1},{\hat {u}}^{2},\dots {\hat {u}}^{n}\}$, координати якої ми позначимо шляпками, щоб відрізнити від старої системи координат. Ясно, що існує взаємно-однозначна відповідність між старою і новою системою координат через посередництво точок многовиду. А саме, набір якихось $n$ чисел $\{u^{1},u^{2},\dots u^{n}\}$ задає деяку точку $P$ на многовиді, а ця точка $P$ має координати $\{{\hat {u}}^{1},{\hat {u}}^{2},\dots {\hat {u}}^{n}\}$ в новій системі координат. Цю відповідність ми можемо записати через набір функцій:

$(12)\qquad {\hat {u}}^{i}={\hat {u}}^{i}(u^{1},u^{2},\dots u^{n})$

які виражають нові координати через старі. Оскільки ця відповідність взаємно-однозначна, то і навпаки, нові координати можна виразити через старі:

$(13)\qquad u^{i}=u^{i}({\hat {u}}^{1},{\hat {u}}^{2},\dots u^{n})$

Ми вважатимемо ці функції диференційовними. Тоді диференціали цих координат (для двох нескінченно близьких точок) пов'язані формулами:

$(14)\qquad d{\hat {u}}^{i}={\partial {\hat {u}}^{i} \over \partial u^{j}}du^{j};\qquad du^{i}={\partial u^{i} \over \partial {\hat {u}}^{j}}d{\hat {u}}^{j}$

Підставляючи (14) в (6), знаходимо:

$(15)\qquad ds^{2}=g_{ij}{\partial u^{i} \over {\hat {u}}^{k}}{\partial u^{j} \over {\hat {u}}^{l}}d{\hat {u}}^{k}d{\hat {u}}^{l}$

і коефіцієнти ${\hat {g}}_{kl}$ метрики в новій системі координат дорівнюють

$(16)\qquad {\hat {g}}_{kl}=g_{ij}{\partial u^{i} \over \partial {\hat {u}}^{k}}{\partial u^{j} \over \partial {\hat {u}}^{l}}$

З цієї формули ми бачимо, що коефіцієнти метрики утворюють двічі коваріантний тензор.

Внутрішня геометрія і абстрактні многовиди

Дивіться також: Метрика простору-часу