Теорема відповідності (теорія груп)

Нехай $N$ це нормальна підгрупа $G$ і нехай $H$ буде підгрупою $G$, що містить $N.$ Тоді відображення

$\psi :\{$підгрупи $G,$ що містять $N\}\to \{$підгрупи $G/N\},H\mapsto \psi (H)=H/N$ — бієкція.

Також, $H$ це нормальна підгрупа $G$ тоді й лише тоді, якщо $H/N$ це нормальна підгрупа $G/N.$

Доведення

Спочатку доведемо, що $\psi$ — це бієкція.

Ін'єктивність. Якщо $H_{1}/N=H_{2}/N$, тоді класи суміжності обох підгруп однакові, тобто для будь-якого $h_{1}\in H_{1}$ ми маємо $h_{1}N=h_{2}N$ для певного $h_{2}\in H_{2},$ з чого випливає, що $h_{2}^{-1}h_{1}\in N\subset H_{2}$, отже $h_{1}\in H_{2},$ що доводить, що $H_{1}\subseteq H_{2}.$ Проводячи такий самий аргумент у зворотному напрямку маємо, що $H_{1}=H_{2}.$

Сюр'єктивність. Нехай $Q$ буде підгрупою $G/N$ і нехай $\pi :G\to G/N$ буде канонічною проєкцією. Тоді,

$\pi ^{-1}(Q)=\{a\in G,aN\in Q\}.$

Це підгрупа $G,$ що містить $N$ і

$\psi (\pi ^{-1}(Q))=\{aN,aN\in Q\}=Q.$

Залишилось довести, що $H\trianglelefteq G\iff H/N\trianglelefteq G/N.$ Припустимо, що $H\trianglelefteq G.$ Для кожного $a\in G,$ нам потрібно показати, що

$(aN)(H/N)(aN)^{-1}=H/N.$

Тепер для будь-якого $hN\in H/N,$ маємо

$(aN)(hN)(aN)^{-1}=(aha^{-1})N\in H/N$

і це все, що нам треба. У зворотному напрямку, припустимо, що $H/N\trianglelefteq G/N.$ Розглянемо гомоморфізм

$a\mapsto (aN)(H/N),$

який є композицією канонічної проєкції $\pi :G\to G/N$ і канонічної проєкції $G/N$ на $(G/N)/(H/N)$ (остання можлива оскільки $H/N\trianglelefteq G/N).$ Зараз ми хочемо показати, що $H$ це ядро цього відображення, що завершить доведення, оскільки ядро гомоморфізма є нормальним.

Елемент $a$ належить ядру тоді й лише тоді, коли $(aN)(H/N)=H/N,$ тобто тоді й лише тоді, коли $aN\in H/N,$ або ж $aN=hN$ для деякого $h\in H.$ Оскільки $N$ міститься в $H,$ це значить, що $aN$ також міститься в $H,$ а значить і $a,$ що ми й хотіли довести.

У теорії кілець

Якщо ${\mathcal {I}}$ це двосторонній ідеал кільця $R,$ тоді канонічне відображення

$\tau :R\to R/{\mathcal {I}}$

встановлює відповідність один-до-одного між

• множиною підкілець $R,$ що містять ${\mathcal {I}}$ і множиною підкілець $R/{\mathcal {I}},$
• множиною ідеалів $R,$ що містять ${\mathcal {I}}$ і множиною всіх ідеалів $R/{\mathcal {I}}.$

Див. також

• Композиційний ряд

Джерела

• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)
• Теорема відповідності на ProofWiki (англ.)