Нехай
це нормальна підгрупа
і нехай
буде підгрупою
, що містить
Тоді відображення
підгрупи
що містять
підгрупи
— бієкція.
Також,
це нормальна підгрупа
тоді й лише тоді, якщо
це нормальна підгрупа
Спочатку доведемо, що
— це бієкція.
- Ін'єктивність. Якщо
, тоді класи суміжності обох підгруп однакові, тобто для будь-якого
ми маємо
для певного
з чого випливає, що
, отже
що доводить, що
Проводячи такий самий аргумент у зворотному напрямку маємо, що ![{\displaystyle H_{1}=H_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f2eed201fd0814e6a03fc5b6e78d49decee3a9b)
- Сюр'єктивність. Нехай
буде підгрупою
і нехай
буде канонічною проєкцією. Тоді,
![{\displaystyle \pi ^{-1}(Q)=\{a\in G,aN\in Q\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c71330efc0fd1640c012e5e361c3c7653c364c71)
- Це підгрупа
що містить
і
![{\displaystyle \psi (\pi ^{-1}(Q))=\{aN,aN\in Q\}=Q.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c258803214ad395d68d1d362f9b62bc2a46f3088)
Залишилось довести, що
Припустимо, що
Для кожного
нам потрібно показати, що
![{\displaystyle (aN)(H/N)(aN)^{-1}=H/N.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a090a16cba389e3c4b7012ea032e35c31c46400b)
Тепер для будь-якого
маємо
![{\displaystyle (aN)(hN)(aN)^{-1}=(aha^{-1})N\in H/N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/974cf2eea7db39c5caee6ccc94d46ad684843645)
і це все, що нам треба.
У зворотному напрямку, припустимо, що
Розглянемо гомоморфізм
![{\displaystyle a\mapsto (aN)(H/N),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35d41add391e8c2b4fa0a6ef25fa58bb11d3b0e9)
який є композицією канонічної проєкції
і канонічної проєкції
на
(остання можлива оскільки
Зараз ми хочемо показати, що
це ядро цього відображення, що завершить доведення, оскільки ядро гомоморфізма є нормальним.
Елемент
належить ядру тоді й лише тоді, коли
тобто тоді й лише тоді, коли
або ж
для деякого
Оскільки
міститься в
це значить, що
також міститься в
а значить і
що ми й хотіли довести.
Якщо
це двосторонній ідеал кільця
тоді канонічне відображення
![{\displaystyle \tau :R\to R/{\mathcal {I}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f7c788978541638ff43167487b36d761f65820)
встановлює відповідність один-до-одного між
- множиною підкілець
що містять
і множиною підкілець ![{\displaystyle R/{\mathcal {I}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ee9dba50125f418d123822af8b8ff6ba50968a)
- множиною ідеалів
що містять
і множиною всіх ідеалів ![{\displaystyle R/{\mathcal {I}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f712c6243678bc8f4ad5ccf7ea6e01f4942aa2a)