Клас суміжності групи

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В теорії груп класом суміжності групи називається деяка множина, що визначається за допомогою деякого елемента даної групи і деякої її підгрупи. Розрізняють лівосторонні класи суміжності і правосторонні класи суміжності. Кількості лівосторонніх і правосторонніх класів суміжності рівні між собою і називаються індексом підгрупи.

Означення[ред.ред. код]

Нехай — деяка група, — її підгрупа. Множину

називають лівостороннім класом суміжності по підгрупі для елемента ,
називають правостороннім класом суміжності по підгрупі для елемента .

Приклад[ред.ред. код]

Нехай G буде адитивною групою цілих Z = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …} і H підгрупа mZ = {…, −2m, −m, 0, m, 2m, …}, де m — це додатне ціле. Тоді класи суміжності H в G — це m множин mZ, mZ+1, … mZ+(m−1), де mZ+a={…, −2m+a, −m+a, a, m+a, 2m+a, …}. Існує не більше ніж m класів суміжності, бо mZ+m=m(Z+1)=mZ. Клас суміжності mZ+a це клас рівності до a за модулем m.[1]

Властивості[ред.ред. код]

Справді оскільки то також З іншої сторони рівняння де завжди має розв'язок
  • Якщо : то тоді
Справді нехай Тоді:
де остання рівність випливає з попередньої властивості.
  • Якщо: тоді
Припустимо Тоді:
і оскільки то також ;
З попередніх властивостей бачимо, що лівосторонні класи суміжностей утворюють розбиття групи і таким чином можна задати відношення еквівалентності:
якщо
  •  :

Справді маємо звідки:

і
  • Еквівалентні твердження з відповідними модифікаціями справедливі і для правосторонніх класів суміжності.
  • Потужності всіх правосторонніх і лівосторонніх класів суміжності рівні порядку групиH.

Дане твердження встановлюється за допомогою двох бієкцій:

  • Кількості правих і лівих класів суміжності (індекс підгрупи, позначається ) рівні між собою і виконується рівність:
. (теорема Лагранжа).

Примітки[ред.ред. код]

  1. Joshi p. 323
  • Joshi, K. D. (1989). §5.2 Cosets of Subgroups. Foundations of Discrete Mathematics. New Age International. с. 322 ff. ISBN 81-224-0120-1. 

Дивись також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]