Логарифмічна спіраль

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Побудова логарифмічної спіралі. Анімація.
Логарифмічна спіраль (нахил 10°).

Логарифмічна спіраль або ізогональна спіраль — особливий вид спіралі, що часто зустрічається в природі. Логарифмічна спіраль була вперше описана Декартом і пізніше інтенсивно досліджена Бернуллі, який називав її Spira mirabilis — «дивовижна спіраль». Власне термін «логарифмічна спіраль» (фр. spirale logarithmique) першим вжив П'єр Варіньон[1].

Рівняння

[ред. | ред. код]

У полярних координатах рівняння кривої може бути записано як

або

що пояснює назву «логарифмічна».

У параметричній формі його може бути записано як

де a, b- дійсні числа.

Властивості

[ред. | ред. код]
  • Кут, що утворюється дотичною в довільній точці логарифмічної спіралі з радіус-вектором точки дотику, постійний і залежить лише від параметра
    • У термінах диференціальної геометрії це може бути записано як
  • Похідна функції пропорційна параметру b. Іншими словами, він визначає, наскільки щільно і в якому напрямку закручується спіраль. У граничному випадку, коли спіраль вироджується в коло радіусу a. Навпаки, коли b прямує до нескінченності спіраль наближається до прямої лінії. Кут, що доповнює до 90 °, називають нахилом спіралі.
  • Розмір витків логарифмічної спіралі поступово збільшується, але їх форма залишається незмінною. Можливо, внаслідок цієї властивості, логарифмічна спіраль з'являється в багатьох зростаючих формах, подібних до мушель молюсків і квіток соняшників.

Цікаві факти

[ред. | ред. код]
Надгробок Бернуллі
  • Якоб Бернуллі бажав, щоб на його могилі було викарбувано логарифмічну спіраль, але на його надгробку помилково зобразили спіраль Архімеда. Проте напис, вигравіюваний навколо спіралі згідно з заповітом (лат. EADEM MUTATA RESURGO — «змінена, я знов воскресаю»), свідчить, що йдеться саме про логарифмічну спіраль, яка має властивість зберігати свою форму після різноманітних перетворень.

Галерея

[ред. | ред. код]

Джерела

[ред. | ред. код]

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Spirale logarithmique. [Архівовано 29 червня 2012 у Wayback Machine.] (фр.)