Трисектриса Маклорена

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Трисектриса Маклорена. Показано трисекцію кута

Трисектри́са Маклоре́на — кубика, яку можна використати для трисекції кута. Її можна визначити як геометричне місце точок перетину двох прямих, кожна з яких обертається рівномірно навколо двох різних точок (полюсів) з відношенням кутових швидкостей 1:3, при цьому спочатку прямі збігаються з прямою, що проходить через ці полюси. Узагальнення цієї побудови називають січною Маклорена[en]. Січну названо на честь Коліна Маклорена, який досліджував криву 1742 року.

Рівняння

[ред. | ред. код]

Нехай дві прямі обертаються навколо точок і , так що пряма, що обертається навколо , утворює з віссю кут , а та, що обертається навколо , утворює кут . Нехай  — точка їх перетину, тоді кут між прямими в точці дорівнює . За теоремою синусів

, так що в полярній системі координат це дасть
.

Таким чином, крива належить до сімейства конхоїд Слюза.

У прямокутній системі координат вигляд рівняння такий:

.

Якщо початок координат зсунути в , то виведення, подібне до наведеного, показує, що рівняння в полярних координат перетворюється на

і крива стає прикладом епіспіралі[en].

Властивість трисекції

[ред. | ред. код]

Для заданого кута малюємо промінь з так, щоб кут з віссю становив . Малюємо промінь з початку координат у точку перетину першого променя з кривою. За побудовою кривої, кут між другим променем і віссю дорівнює .

Чудові точки і властивості

[ред. | ред. код]

Крива має перетин з віссю x у точці і подвійну нерухому точку в початку координат. Вертикальна пряма є асимптотою. Крива перетинає пряму в точках , що відповідають трисекції прямого кута. Як основна кубика, вона має рід нуль.

Зв'язок з іншими кривими

[ред. | ред. код]

Трисектрису Маклорена можна визначити як конічний перетин трьома способами. А саме:

.
і прямої відносно початку координат.
.

До того ж,

Література

[ред. | ред. код]

Посилання

[ред. | ред. код]