Великі кардинальні числа

У математичній області теорії множин велика кардинальна властивість - певний вид властивості транс фінітних кардинальних чисел. Кардинали з такими властивостями, як і передбачає назва, як правило, дуже великі (наприклад, більше, ніж потужність континууму). Припущення, що такі кардинали існують, не може бути доведене в самій загальній аксіоматиці теорії множин і такі пропозиції можна розглядати в якості способу вимірювання як багато потрібно припустити, щоб бути в змозі довести деякі бажані результати. Іншими словами, вони можуть бути висказані висловом Дана Скотта: "Якщо ви хочете більше, ви повинні взяти на себе більше".

Аксіома великих кардинальних чисел - це аксіома про те, що існує кардинальне число (або, можливо, багато хто з них) з деякою зазначеною вище великою кардинальною властивістю. Не існує в цілому з'ясованого точного визначення того, що велика кардинальна властивість являє собою насправді, хоча по суті всі згодні з тим, що список великих кардинальних властивостей абсолютно вірно описує ці властивості.

Часткове визначення

Необхідною умовою для властивості кардинальних чисел, щоб існувала велика кардинальна властивість є існування невідомого кардинального числа.

Ієрархія узгодженості сили

Спостереження щодо аксіоми великих кардинальних чисел є лінійно впорядкована узгодженою силою, але це лише спостереження, а не теорема (без прийнятого визначення великої кардинальної властивості воно не підлягає доведенню у звичайному сенсі). Слід також зазначити, що порядок узгодженої сили не обов'язково збігається з порядком розміру найменшого прикладу великої кардинальної аксіоми. Наприклад, існування великого кардинального числа набагато сильніше, з точки зору узгодженості сил, ніж існування над компактного кардинального числа, але за умови, що обидва існують, перший велике кардинальне число менше, ніж друге над компактне.

Мотиви та статус

Великі кардинальні числа зрозумілі в контексті універсуму фон Неймана, який побудований на трансфінітній ітераційній Powerset операції, яка збирає разом всі підмножини даної множини. Як правило, в моделях, в яких аксіома великих кардинальних чисел не підходить, можна побачити в деяких природним чином, як підмоделі ті, в яких аксіоми. Наприклад, якщо є недосяжне кардинальне число, то "розрізання Всесвіту вимкнено" в розпал першої такий кардинальний дає світ, в якому немає недосяжних кардинальних чисел. Або, якщо є вимірний кардинал, то ітерації визначаються операцією Powerset, а не повний один вихід конструктивних Всесвіту Геделя, який не задовольняє заяву, що існує вимірний кардинал (хоча воно містить вимірний кардинал, як порядковий ). Таким чином, з певної точки зору проведеної багатьма теоретиками набір аксіом великих кардинальних чисел "говорить", що ми розглядаємо всі множини, в той час як їх заперечення є "обмежувальними". Крім того, наслідки аксіом великих кардинальних чисел, потрапляють у природні. Ця точка зору аж ніяк не є універсальною серед безлічі теоретиків. Деякі формалісти б стверджувати, що стандартна теорія множин за визначенням є вивчення наслідків теорія множин Цермеля-Френкеля, і, хоча вони не можуть бути в принципі проти вивчення наслідків інших систем, вони не бачать причин, щоб виділити великі кардинальні числа в якості бажаних. Є також реалісти, які заперечують, що онтологічний максималізм є правильною мотивацією, і навіть вважають, що аксіоми великих кардинальних чисел помилкові. І, нарешті, є ті, хто заперечує, що заперечення аксіом великих кардинальних чисел є обмежувальними.

Джерела інформації

• Drake, F. R. (1974). Set Theory: An Introduction to Large Cardinals (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics ; V. 76). Elsevier Science Ltd. ISBN 0-444-10535-2.
• Jech, Thomas (2002). Set theory, third millennium edition (revised and expanded). Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kanamori, Akihiro (2003). The Higher Infinite : Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings (вид. 2nd). Springer. ISBN 3-540-00384-3.
• Kanamori, Akihiro; Magidor, M. (1978), The evolution of large cardinal axioms in set theory, Higher Set Theory, Lecture Notes in Mathematics, т. 669 (typescript), Springer Berlin / Heidelberg, с. 99—275, doi:10.1007/BFb0103104, ISBN 978-3-540-08926-1
• Maddy, Penelope (1988). Believing the Axioms, I. Journal of Symbolic Logic. 53 (2): 481—511. doi:10.2307/2274520.
• Maddy, Penelope (1988). Believing the Axioms, II. Journal of Symbolic Logic. 53 (3): 736—764. doi:10.2307/2274569.
• Shelah, Saharon (2002). The Future of Set Theory. arXiv:math/0211397.
• Solovay, Robert M.; William N. Reinhardt, and Akihiro Kanamori (1978). Strong axioms of infinity and elementary embeddings (PDF). Annals of Mathematical Logic. 13 (1): 73—116. doi:10.1016/0003-4843(78)90031-1.
• Woodin, W.Hugh (2001). The continuum hypothesis, part II. Notices of the American Mathematical Society. 48 (7): 681—690.