Теорія множин

Діаграма Венна, що ілюструє перетин двох множин

Тео́рія множи́н — розділ математики, в якому вивчаються загальні властивості множин (переважно нескінченних). Виділення теорії множин в самостійний розділ математики відбулося на рубежі XIX і XX століть. Теорія множин зробила дуже великий вплив на розвиток сучасної математики — вона являється фундаментом ряду нових розділів математики, дозволила по-новому поглянути на класичні розділи математики і глибше зрозуміти сам предмет математики.

Сучасні дослідження теорії множин була започатковані Георгом Кантор і Ріхардом Дедекіндом в 1870-х роках. Після відкриття парадоксів наївної теорії множин, на початку ХХ століття були запропоновані численні системи аксіом, серед яких найвідомішою є система Цермело-Френкеля, з аксіомою вибору.

Наївна теорія множин

Георг Кантор (1845—†1918), фундатор теорії множин

До другої половини 19 століття поняття «множини» не розглядалося як математичне («множина книг на полиці», «множина людських чеснот» і т. д. — все це суто побутові мовні звороти). Становище змінилося, коли німецький математик Георг Кантор розробив свою програму стандартизації математики, в рамках якої будь-який математичний об'єкт мав бути тією або іншою «множиною». Цей підхід викладений у двох його статтях, опублікованих у 1879–1897 роках у відомому німецькому журналі «Mathematische Annalen».

Наприклад, натуральне число за Кантором слід було розглядати як множину, що складається з єдиного елемента іншої множини, званої «натуральним рядом», який, у свою чергу, сам є множиною, що задовольняє так званим аксіомам Пеано.

При цьому загальному поняттю «множини», що розглядалося ним як центральне для математики, Кантор давав вельми розмиті означення, ніби «множина є багато що, мислиме як єдине», і т. д. Це цілком відповідало наміру самого Кантора, який підкреслено називав свою програму не «теорією множин» (цей термін з'явився багато пізніше), а «вченням про множини» (Mengenlehre).

Програма Кантора викликала різкі протести з боку багатьох сучасних йому відомих математиків. Особливо виділявся своїм непримиренним до неї ставленням Леопольд Кронекер, який вважав, що математичними об'єктами можуть вважатися лише натуральні числа і те, що до них безпосередньо зводиться (відома його фраза про те, що «бог створив натуральні числа, а все інше — справа рук людських»).

Повністю відкинули теорію множин і такі авторитетні математики, як Герман Шварц та Анрі Пуанкаре. Проте, деякі інші математики — зокрема, Готлоб Фреге, Ріхард Дедекінд та Давид Гільберт — підтримали Кантора в його намірі перекласти всю математику на теоретико-множинну мову. Зокрема, теорія множин стала основою: теорії міри, топології, функціонального аналізу.

Проте незабаром з'ясувалося, що спрямування Кантора на відсутність обмежень при операціях з множинами (виражене ним самим у принципі «суть математики полягає в її свободі») недосконала із самого початку; а саме, було знайдено ряд теоретико-множинних антиномій: виявилося, що при використанні теоретико-множинних уявлень деякі твердження можуть бути доведені разом зі своїми запереченнями (а тоді, відповідно до правил класичної логіки висловлень, може бути «доведено» абсолютно будь-яке твердження). Антиномії ознаменували собою повний провал програми Кантора.

Аксіоматична теорія множин

Ернст Цермело (1871—†1953), автор аксіоматики теорії множин

В 1901 році Бертран Расселл, вивчаючи наївну теорію множин, дійшов до парадоксу (відтоді відомому як парадокс Рассела). Таким чином була продемонстрована суперечливість наївної теорії множин і, пов'язаної з нею канторівскої програми стандартизації математики. Аксіоматичної теорії множин була початково розроблена, щоб позбутися таких парадоксів в теорії множин.

Після виявлення антиномії Рассела частина математиків (наприклад, Л. Е. Я. Брауер і його школа) вирішила повністю відмовитися від використовування теоретико-множинних уявлень.

Інша ж частина математиків, очолена Давидом Гільбертом зробила ряд спроб обґрунтувати ту частину теоретико-множинних уявлень, яка здавалася їм якнайменше відповідальною за виникнення антиномій, на основі надійної фінітної математики.

Логічний апарат удосконалив Бертран Рассел в роботах, пізніше зібраних у його монографії «Principia Mathematica» (1910-1913). І в 1904-1908 роках Ернст Цермело запропонував першу із аксіоматичної теорії множин.

Особливістю аксіоматичного підходу є відмова від закладеного у програму Кантора уявлення про справжнє існування множин в деякому ідеальному світі. В рамках аксіоматичних теорій множини «існують» винятково формальним чином, і їх «властивості» можуть істотно залежати від вибору аксіоматики. Цей факт завжди був мішенню для критики з боку тих математиків, які не згоджувалися (як на тому наполягав Гільберт) визнати математику, позбавленою будь-якого змісту, грою в символи. Зокрема, М. М. Лузін писав, що «потужність континууму, якщо тільки мислити його як множина точок є якась єдина реальність», місце якої в ряду кардинальних чисел не може залежати від того, чи визнається як аксіома континуум-гіпотеза, чи її заперечення.

Наразі найпоширенішою аксіоматичною теорією множин є ZFC — теорія Цермело-Френкеля з аксіомою вибору. Питання про несуперечність цієї теорії (а тим більше — про існування моделі для неї) залишається нерозв'язаним.

Основні поняття

В основі теорії множин лежать первинні поняття: множина та елемент множини. Елемент множини перебуває щодо множини у відношенні бути елементом множини (позначається як $x \in A$ — «x є елемент множини A»). Серед похідних понять найважливішими є наступні:

• порожня множина — множина, яка не містить елементів, позначається зазвичай $\varnothing$;
• підмножина і надмножина — множина, яка складається тільки з елементів іншої множини, та множина, до якої належать усі елементи іншої множини, відповідно;
• сімейство множин;
• простір (універсум) — множина, що є надмножиною всіх множин;
• конституента.

Над множинами визначені наступні операції:

• об'єднання (або сума) (позначається як $\ A \cup B$);
• перетин (або добуток) (позначається як $\ A \cap B$);
• різниця (позначається як $\ A \setminus B,$ рідше $\ A - B$);
• симетрична різниця (позначається як $A\,\triangle\,B,$ рідше $A\,\dot{-}\,B$).
• доповнення (позначається як $\ \setminus A,$ або $-A\,$);

Для множин визначені наступні бінарні відношення:

• відношення рівності (позначається як $A = B\,$);
• відношення включення (позначається як $A \subset B,$ або $A \subseteq B$).

Області дослідження

Комбінаторна теорія множин

Комбінаторна теорія множин (нескінченна комбінаторика) розглядає розширення комбінаторики для нескінченних множин. Це включає в себе дослідження кардинальної арифметики і вивчення розширень теореми Рамзея, таких як теорема Ердеша-Радо.

Нечіткі множини

Нечіткі множини були введені одночасно Лотфі Заде і Дітером Кляуа в 1965 році як розширення класичного поняття множини. В теорії множин введеній Кантором і аксіоматизованії Цермело і Френкелем, елемент або належить множині, або ні. В теорії нечітких множин цю умову було ослаблено, елемент має ступінь належності до множини, який задається числом між 0 і 1. Наприклад, ступінь приналежності конкретної людини до множини "високих людей" є гнучкішим, ніж просто так чи ні, і може бути дійсним числом, скажімо, 0,75.

Див. також

• Множина
• Алгебра множин
• Теоретико-множинні рівняння
• Теорія множин Цермело-Френкеля
• Теорія порядку
• Таблиця математичних символів
• Теорія категорій

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. (1970). Теория множеств. Москва: Мир. с. 416.  (рос.)
• Справочник по математике для средних учебных заведений. Цыпкин А. Г./Под ред. С. А. Степанова. — 3-е изд. — М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 480 с. (рос.)
• Хаусдорф Ф. (1937). Теория множеств. Москва, Ленинград: ОНТИ. с. 304. ISBN 978-5-382-00127-2.  (рос.)

Посилання

• «Електронний підручник з теми «Теорія множин. Комбінаторика»»