Зрізаний вузол

Зрізаний вузол — це тип математичного вузла. В теорії вузлів «вузол» означає вкладене в 3-сферу коло

$S^{3}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |=1\}$,

а 3-сферу можна розглядати як межу чотиривимірної кулі

$B^{4}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}\mid |\mathbf {x} |\leq 1\}.$

Вузол $K\subset S^{3}$ є зрізаним, якщо він є межею належним чином вкладеного диска D в 4-вимірну кулю.

Що означає «належним чином вкладеного», залежить від контексту і розуміється по різному для різних типів зрізаних вузлів. Якщо D є гладким вкладенням в B^4, то кажуть, що K є гладко зрізаним вузлом. Якщо K є лише локально плоским (що слабше), то кажуть, що K є топологічно зрізаним вузлом.

Будь-який стрічковий вузол є гладким зрізаним вузлом. Старе питання Фокса полягає в тому, чи є будь-гладкий вузол стрічковим.

Сигнатура зрізаного вузла дорівнює нулю.

Многочлен Александера зрізаного вузла розпадається на множники $f(t)f(t^{-1})$, де $f(t)$ — деякий многочлен Лорана з цілими коефіцієнтами. Це відомо як умова Фокса-Мілнора.

Нижче наведено список всіх зрізаних вузлів з 10 і менше перетинами. Список складено за Атласом вузлів: 6₁, $8_{8}$, $8_{9}$, $8_{20}$, $9_{27}$, $9_{41}$, $9_{46}$, $10_{3}$, $10_{22}$, $10_{35}$, $10_{42}$, $10_{48}$, $10_{75}$, $10_{87}$, $10_{99}$, $10_{123}$, $10_{129}$, $10_{137}$, $10_{140}$, $10_{153}$ і $10_{155}$.

Див. також

• Рід зрізу

Література

• Robert E. Gompf, Martin Scharlemann, Abigail Thompson. Fibered knots and potential counterexamples to the property 2R and slice-ribbon conjectures // Geometry & Topology. — 2010. — Т. 14, вип. 4 (22 травня). — DOI:10.2140/gt.2010.14.2305.
• Markus Banagl, Denis Vogel. The Mathematics of Knots: Theory and Application. — Springer, 2010. — Т. 1. — (Contributions in Mathematical and Computational Sciences) — ISBN 9783642156373.
• W. B. Raymond Lickorish. An Introduction to Knot Theory. — Springer, 1997. — Т. 175. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 9780387982540.