Куля

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Куля.png

Куля – тіло, утворене обертанням круга навколо його діаметра. Центром кулі називають центр круга, обертанням якого її утворено. Відрізок, який сполучає центр кулі з довільною точкою її поверхні, - радіус кулі. Відрізок, який сполучає дві довільні точки поверхні кулі, - її хорда. Хорда кулі, яка проходить через центр, - діаметр кулі.

Ку́ля — це множина всіх точок простору, що перебувають від заданої точки O на відстані, не більшій за дану відстань R. При цьому точка O називається центром, а R — радіусом кулі. Будь-який відрізок, який сполучає центр кулі з точкою кульової поверхні, також називається радіусом.

Поверхня кулі називається сферою. Також дуже часто кулею називають частину простору, обмежену сферою.

Куля в аналітичній геометрії[ред.ред. код]

(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 \le R^2 — рівняння кулі з центром в точці з координатами (a, b, c) та радіусом R.

Взагалі, рівняння кулі у n-вимірному просторі виглядає як

(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + \ldots + (x_n - a_n) \le R^2, де (a_1, a_2, \ldots , a_n) — координати її центра.

Куля в 2-вимірному просторі — круг, а в n-вимірному, якщо n \ge 4, вона називається гіперкулею.

Площа сфери та об'єм кулі[ред.ред. код]

Площу сфери, яка обмежує кулю з радіусом R, можна підрахувати за формулою

S = 4 \pi R^2\,\!, що приблизно дорівнює 12,6 R^2\,\!.

Площа поверхні кулі є найменшою серед площ поверхонь стереометричних тіл з однаковим об'ємом.
Об'єм кулі можна знайти за формулою

V = \frac{4 \pi R^3}{3} \approx 4,2 R^3 \,\!.

Переріз кулі площиною[ред.ред. код]

Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину. Радіус такого перерізу визначається формулою

r = \sqrt{R^2 - l^2}, де R — радіус кулі, l — відстань від центра кулі до перерізу.

Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною, переріз нею кулі — великим кругом, а переріз сфери — великим колом. Радіус великого круга та великого кола дорівнює радіусові кулі. Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії.

Частини кулі[ред.ред. код]

Частини кулі: зеленим кольором позначено сектор, сірим — сегмент, жовтим — зріз кулі.

Сегмент[ред.ред. код]

Сегмент кулі — це та її частина, що утворюється внаслідок перерізу площиною. Основними величинами, які характеризують сегмент, є радіус кулі R та довжина перпендикуляра, опущеного на центр перерізу зі сфери, H. Довжина цього перпендикуляра також дорівнює різниці між радіусом R і відстанню від центра до перерізу l, тобто H = R - l. Таким чином об'єм сегмента дорівнює

V = \frac{1}{3}\pi H^2 (3R - H),

а площа поверхні —

S = 2\pi RH\,\!


Зріз[ред.ред. код]

Зріз — це стереометричне тіло, утворене перерізами кулі двома паралельними площинами. Він характеризується такими величинами:

  • Радіус відповідної кулі, R;
  • Відстань між двома перерізами, H;
  • Радіуси обох перерізів, r_1, r_2.

Об'єм зрізу визначається формулою

V = \frac{1}{6}\pi H^3 + \frac{1}{2}\pi(r_1^2 + r_2^2)H,

а площа поверхні —

S = 2\pi RH\,\!.

Сектор[ред.ред. код]

Сектор складається з кульового сегмента та конуса, основа якого збігається з основою сегмента, а вершина — з центром кулі. Сектор характеризують радіус кулі R та довжина перпендикуляра, опущеного на центр основи конуса зі сфери, H. Об'єм сектора:

V = \frac{2}{3}\pi R^2 H.

Площа його поверхні:

\pi R(2H + \sqrt{2HR - H^2}).

Вписані й описані кулі[ред.ред. код]

Описана куля[ред.ред. код]

Куля називається описаною навколо багатогранника, якщо всі вершини багатогранника лежать на поверхні кулі (сфери). В цьому випадку багатогранник називають вписаним в кулю. Центр кулі, описаної навколо багатогранника, рівновіддалений від всіх його вершин, тобто є точкою перетину площин, проведених через середини ребер багатогранника (призми, піраміди) перпендикулярно до них. Відстань від центра кулі до вершин багатогранника — його радіус.

Вписана куля[ред.ред. код]

Куля називається вписаною в багатогранник, якщо всі грані багатогранника дотикаються до кулі. Багатогранник у цьому випадку називається описаним навколо кулі (сфери). Центр кулі, вписаної у багатогранник, рівновіддалений від усіх його граней. Він є точкою перетину півплощин, проведених через ребра двогранних кутів, утворених двома суміжними гранями, які поділяють цей кут навпіл. Відстань від центра кулі до граней — його радіус.

Додаткові відомості[ред.ред. код]

Куля так само, як циліндр і конус, є тілом обертання. Вона утворюється при обертанні півкруга навколо його діаметра як осі. Цей діаметр називають віссю кулі, а його кінці — полюсами кулі.
Відрізок, який сполучає дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром. Кінці будь-якого діаметра називаються діаметрально протилежними точками кулі.

Дивись також[ред.ред. код]