Куля

Ку́ля — це множина всіх точок простору, що перебувають від заданої точки $O$ на відстані, не більшій за дану відстань $R$. При цьому точка $O$ називається центром, а $R$ — радіусом кулі. Будь-який відрізок, який сполучає центр кулі з точкою кульової поверхні, також називається радіусом.

Поверхня кулі називається сферою. Також дуже часто кулею називають частину простору, обмежену сферою.

Куля в аналітичній геометрії

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 \le R^2$ — рівняння кулі з центром в точці з координатами $(a, b, c)$ та радіусом $R$.

Взагалі, рівняння кулі у n-вимірному просторі виглядає як

$(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + \ldots + (x_n - a_n) \le R^2$, де $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$ — координати її центра.

Куля в 2-вимірному просторі — круг, а в n-вимірному, якщо $n \ge 4$, вона називається гіперкулею.

Площа сфери та об'єм кулі

Площу сфери, яка обмежує кулю з радіусом $R$, можна підрахувати за формулою

$S = 4 \pi R^2\,\!$, що приблизно дорівнює $12,6 R^2\,\!$.

Площа поверхні кулі є найменшою серед площ поверхонь стереометричних тіл з однаковим об'ємом.
Об'єм кулі можна знайти за формулою

$V = \frac{4 \pi R^3}{3} \approx 4,2 R^3 \,\!$.

Переріз кулі площиною

Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину. Радіус такого перерізу визначається формулою

$r = \sqrt{R^2 - l^2}$, де $R$ — радіус кулі, $l$ — відстань від центра кулі до перерізу.

Площина, яка проходить через центр кулі, називається діаметральною площиною, переріз нею кулі — великим кругом, а переріз сфери — великим колом. Радіус великого круга та великого кола дорівнює радіусові кулі. Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії.

Частини кулі

Частини кулі: зеленим кольором позначено сектор, сірим — сегмент, жовтим — зріз кулі.

Сегмент

Сегмент кулі — це та її частина, що утворюється внаслідок перерізу площиною. Основними величинами, які характеризують сегмент, є радіус кулі $R$ та довжина перпендикуляра, опущеного на центр перерізу зі сфери, $H$. Довжина цього перпендикуляра також дорівнює різниці між радіусом $R$ і відстанню від центра до перерізу $l$, тобто $H = R - l$. Таким чином об'єм сегмента дорівнює

$V = \frac{1}{3}\pi H^2 (3R - H)$,

а площа поверхні —

$S = 2\pi RH\,\!$

Зріз

Зріз — це стереометричне тіло, утворене перерізами кулі двома паралельними площинами. Він характеризується такими величинами:

• Радіус відповідної кулі, $R$;
• Відстань між двома перерізами, $H$;
• Радіуси обох перерізів, $r_1, r_2$.

Об'єм зрізу визначається формулою

$V = \frac{1}{6}\pi H^3 + \frac{1}{2}\pi(r_1^2 + r_2^2)H$,

а площа поверхні —

$S = 2\pi RH\,\!$.

Сектор

Сектор складається з кульового сегмента та конуса, основа якого збігається з основою сегмента, а вершина — з центром кулі. Сектор характеризують радіус кулі $R$ та довжина перпендикуляра, опущеного на центр основи конуса зі сфери, $H$. Об'єм сектора:

$V = \frac{2}{3}\pi R^2 H$.

Площа його поверхні:

$\pi R(2H + \sqrt{2HR - H^2})$.

Вписані й описані кулі

Описана куля

Куля називається описаною навколо багатогранника, якщо всі вершини багатогранника лежать на поверхні кулі (сфери). В цьому випадку багатогранник називають вписаним в кулю. Центр кулі, описаної навколо багатогранника, рівновіддалений від всіх його вершин, тобто є точкою перетину площин, проведених через середини ребер багатогранника (призми, піраміди) перпендикулярно до них. Відстань від центра кулі до вершин багатогранника — його радіус.

Вписана куля

Куля називається вписаною в багатогранник, якщо всі грані багатогранника дотикаються до кулі. Багатогранник у цьому випадку називається описаним навколо кулі (сфери). Центр кулі, вписаної у багатогранник, рівновіддалений від усіх його граней. Він є точкою перетину півплощин, проведених через ребра двогранних кутів, утворених двома суміжними гранями, які поділяють цей кут навпіл. Відстань від центра кулі до граней — його радіус.

Додаткові відомості

Куля так само, як циліндр і конус, є тілом обертання. Вона утворюється при обертанні півкруга навколо його діаметра як осі. Цей діаметр називають віссю кулі, а його кінці — полюсами кулі.
Відрізок, який сполучає дві точки кульової поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром. Кінці будь-якого діаметра називаються діаметрально протилежними точками кулі.

Див. також

• Сфера
• Круг і Коло
• Гіперкуля
• Тіла обертання
• Площа і Об'єм