Індекс підгрупи

Індекс підгрупи $H$ у групі $G$ ― число класів суміжності в кожному (правому або лівому) із розкладів групи $G$ за цією підгрупою $H$ (в нескінченному випадку — потужність множини цих класів).

Індекс підгрупи $H$ в групі $G$ зазвичай позначається $[G:H]$.

Пов'язані означення

• Якщо число суміжних класів скінченне, то $H$ називається підгрупою скінченного індексу в $G$.

Властивості

• Добуток порядку підгрупи $H$ на її індекс $[G:H]$ рівний порядку групи $G$ (теорема Лагранжа).
  • Це твердження є вірним як для скінченної групи $G$, так і у випадку нескінченної $G$ ― для відповідних потужностей.
• Якщо H є підгрупою G, а K — підгрупою H, то:

$[G:K]=[G:H]\,[H:K].$

Теорема Пуанкаре

Перетин скінченної кількості підгруп скінченного індексу має скінченний індекс (теорема Пуанкаре).

Твердження достатньо довести для випадку двох підгруп. Нехай підгрупи Н і F — підгрупи скінченного індексу в групі G і D — їх перетин. Елементи a і b тоді і тільки тоді належать одному лівосторонньому суміжному класу по D, якщо $a^{-1}b\in D$, тобто якщо $a^{-1}b\in H$ і $a^{-1}b\in F$. Отже всі лівосторонні класи суміжності групи G по підгрупі D, це всі непусті перетини лівосторонніх класів суміжності по підгрупі Н з лівосторонніми класами по підгрупі F. Із скінченності індексів підгруп Н і F випливає скінченність числа цих перетинів і скінченність індексу підгрупи D в групі G.

З доведення також випливає нерівність:

• $[G:H\cap F]\leq [G:F]\,[G:F].$

Див. також

• Клас суміжності групи
• Теорема Лагранжа

Література

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.
• О.Г.Ганюшкін, О.О.Безущак. Теорія груп: Навчальний посібник для студентів механіко математичного факультету. К.: Видавничо-поліграфічний центр Київський університет, 2005.
• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)