Індекс підгрупи

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Індекс підгрупи H у групі G ― число класів суміжності в кожному (правому або лівому) із розкладів групи G за цією підгрупою H (в нескінченному випадку — потужність множини цих класів).

Індекс підгрупи H в групі G зазвичай позначається [G:H].

Пов'язані означення[ред.ред. код]

  • Якщо число суміжних класів скінченне, то H називається підгрупою скінченного індексу в G.

Властивості[ред.ред. код]

  • Добуток порядку підгрупи H на її індекс [G:H] рівний порядку групи G (теорема Лагранжа).
    • Це твердження є вірним як для скінченної групи G, так і у випадку нескінченної G ― для відповідних потужностей.
  • Якщо H є підгрупою G, а K — підгрупою H, то:
[G:K] = [G:H]\,[H:K].

Теорема Пуанкаре[ред.ред. код]

Перетин скінченної кількості підгруп скінченного індексу має скінченний індекс (теорема Пуанкаре).

Твердження достатньо довести для випадку двох підгруп. Нехай підгрупи Н і F — підгрупи скінченного індексу в групі G і D — їх перетин. Елементи a і b тоді і тільки тоді належать одному лівосторонньому суміжному класу по D, якщо a^{-1}b \in D, тобто якщо a^{-1}b \in H і a^{-1}b \in F. Отже всі лівосторонні класи суміжності групи G по підгрупі D, це всі непусті перетини лівосторонніх суміжності по підгрупі Н з лівосторонніми класами по підгрупі F. Із скінченності індексів підгруп Н і F випливає скінченність числа цих перетинів і скінченність індексу підгрупи D в групі G.

З доведення також випливає нерівність:

  • [G:H\cap F] \le [G : F]\,[G : F].

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]