Перетин множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Теоретико-множинні операції

\overline{A} \! доповнення

A\cup B\! об'єднання
A\cap B\! перетин

A\setminus B\! різниця

A\triangle B\! симетрична різниця
A\times B\! декартів добуток



В математиці, зокрема в теорії множин, перетином двох множин A та B називається множина, яка складається з усіх елементів множини A, які одночасно належать і множині B та навпаки (всі елементи множини B які належать A) і тільки їх. Вона і позначається як "AB та є підмножиною обох

Перетин множин A та B

Формально:

A \cap B = \{x \mid x\in A \wedge x \in B\}.; A \cap B \subseteq A \and A \cap B \subseteq B

Якщо одна множина є підмножиною другої, то їхній перетин дорівнює першій множині: A \subseteq B \to A \cap B = A

Якщо перетин двох множин A та B є порожнім, тобто не містить спільних елементів, то кажуть, що такі множини не перетинаються.

Цей факт позначається як AB = Ø.

Приклади:

  • {1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}.
  • {1, 2} ∩ {3, 4} = Ø.

Алгебраїчні властивості[ред.ред. код]

A \cap B = B \cap A; \!
(A\cap B) \cap C = A \cap (B \cap C); \!
A\cap X = A; \!
A \cap A = A; \!
A \cap \emptyset = \emptyset.

Перетин довільної кількості множин[ред.ред. код]

В загальному випадку, якщо множина M є непорожньою множиною, елементами якої в свою чергу є множини. Тоді елемент x є елементом перетину M тодій й тільки тоді, коли для кожного елемента A з M, x є елементом A.

В символьній формі:

 x \in \bigcap \mathbf{M} \iff \forall A \in \mathbf{M}, \ x \in A .

Наприклад, множина ABC є перетином такої колекції множин {A,B,C}.

Позначення перетину довільної кількості множин такі:

\bigcap \mathbf{M}, або \bigcap_{A\in\mathbf{M}} A.

Остання нотація може бути узагальнена до

\bigcap_{i\in I} A_{i},

що позначає перетин колекції множин {Ai : i ∈ I}. Тут I - непорожня множина, і Ai - множина для кожного i в I.

В цьому випадку I є індексна множина (тобто множина індексів, натуральних чисел), і можна застосувати нотацію, аналогічну нотації для сум:

\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i

Також можна писати "A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ ...

Див. також[ред.ред. код]