Перетин множин

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

$A\cup B\!$ об'єднання
$A\cap B\!$ перетин

$A\triangle B\!$ симетрична різниця
$A\times B\!$ декартів добуток

В математиці, зокрема в теорії множин, перетином двох множин A та B називається множина, яка складається з усіх елементів множини A, які одночасно належать і множині B та навпаки (всі елементи множини B які належать A) і тільки їх.

Перетин множин A та B

Перетин множин A та B позначається як "A∩B".

Формально:

$A \cap B = \{x \mid x\in A \wedge x \in B\}.$

Якщо перетин двох множин A та B є порожнім, тобто не містить спільних елементів, то кажуть, що такі множини не перетинаються.

Цей факт позначається як A∩B = Ø.

Приклади:

{1, 2, 3} ∩ {2, 3, 4} = {2, 3}.
{1, 2} ∩ {3, 4} = Ø.

[ред.] Алгебраїчні властивості

Перетин множин є бінарною операцією на довільному булеані $2 X$ ;
Операція перетину множин комутативна:

$A \cap B = B \cap A; \!$

Операція перетину множин асоціативна:

$(A\cap B) \cap C = A \cap (B \cap C); \!$

Універсальна множина $X$ є нейтральним елементом операції перетину множин:

$A\cap X = A; \!$

З вищеперечислених властивостей випливає, що булеан з операцією перетину множин є абелевою групою;
Операція перетину множин ідемпотентна:

$A \cap A = A; \!$

Якщо $\emptyset$ — порожня множина, то

$A \cap \emptyset = \emptyset.$

[ред.] Перетин довільної кількості множин

В загальному випадку, якщо множина M є непорожньою множиною, елементами якої в свою чергу є множини. Тоді елемент x є елементом перетину M тодій й тільки тоді, коли для кожного елемента A з M, x є елементом A.

В символьній формі:

$x \in \bigcap \mathbf{M} \iff \forall A \in \mathbf{M}, \ x \in A .$