Інтегральний логарифм

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Інтегральний логарифмспеціальна функція, що визначається для дійсних x\ne 1, рівністю:

{\rm li} (x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t}. \; при x > 1 підінтегральна функція має в точці t=1 нескінченний розрив і інтегральний логарифм розуміється в сенсі головного значення:

{\rm li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0+} \left( \int_0^{1-\varepsilon} \frac{dt}{\ln t} + \int_{1+\varepsilon}^x \frac{dt}{\ln t} \right). \;
Інтегральний логарифм

Також для усунення сингулярності в точці 1 іноді визначається зсунутий інтегральний логарифм:

\mathrm{Li}\,(x)=\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}.

Між двома функціями справедлива рівність:

\mathrm{Li}\,(x)-\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{li}\,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots

Властивості[ред.ред. код]

  • При малих x:
{\rm li} (x) \approx \frac{x}{\ln (1/x)}

Ei(x) співвідношеннями:

\hbox{li}(x)=\hbox{Ei}(\ln x) , \,\!
  • Інтегральний логарифм подається у вигляді ряду
\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x)=\gamma+\ln\ln x+\sum_{n=1}^\infty\frac{(\ln x)^n}{n \cdot n!},
де \gamma\approx 0{,}577~215~664~901~532\ldotsстала Ейлера;
\mathrm{li}\,(x)=\gamma+\ln\ln x+\sqrt{x}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(\ln x)^n}{2^{n-1}n!}\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\frac{1}{2k+1}.
  • Інтегральний логарифм має єдиний нуль в точці \mu\approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots — стала Рамануджана — Солднера

Комплексна змінна[ред.ред. код]

Як функція комплексної змінної z інтегральний логарифм можна визначити:

\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x)=\gamma+\ln(- \ln z)+\sum_{n=1}^\infty\frac{(\ln z)^n}{n \cdot n!},

Інтегральний логарифм тоді буде однозначною аналітичною функцією в комплексній площині z з розрізами уздовж дійсної осі від -\infty до 0 і від 1 до \infty (уявні частини логарифмів беруться при цьому в межах від -\pi до \pi).

Застосування в теорії чисел[ред.ред. код]

Інтегральний логарифм відіграє важливу роль у теорії чисел. Зокрема, згідно з теоремою про розподіл простих чисел:

\pi(x)\sim\hbox{li}(x)\sim\hbox{Li}(x),\, де \pi(x) — кількість простих чисел менших або рівних x.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.