Інтегральний логарифм

Інтегральний логарифм — спеціальна функція, що визначається для дійсних $x\ne 1,$ рівністю:

${\rm li} (x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t}. \;$ при x > 1 підінтегральна функція має в точці t=1 нескінченний розрив і інтегральний логарифм розуміється в сенсі головного значення:

${\rm li} (x) = \lim_{\varepsilon \to 0+} \left( \int_0^{1-\varepsilon} \frac{dt}{\ln t} + \int_{1+\varepsilon}^x \frac{dt}{\ln t} \right). \;$

Інтегральний логарифм

Також для усунення сингулярності в точці 1 іноді визначається зсунутий інтегральний логарифм:

$\mathrm{Li}\,(x)=\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}.$

Між двома функціями справедлива рівність:

$\mathrm{Li}\,(x)-\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{li}\,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots$

Властивості

• При малих x:

${\rm li} (x) \approx \frac{x}{\ln (1/x)}$

• Інтегральний логарифм пов'язаний з інтегральною показниковою функцією

Ei(x) співвідношеннями:

$\hbox{li}(x)=\hbox{Ei}(\ln x) , \,\!$

• Інтегральний логарифм подається у вигляді ряду

$\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x)=\gamma+\ln\ln x+\sum_{n=1}^\infty\frac{(\ln x)^n}{n \cdot n!},$

де $\gamma\approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots$ — стала Ейлера;

• Інший ряд, що збігається швидше був виведений Срінівасою Рамануджаном:

$\mathrm{li}\,(x)=\gamma+\ln\ln x+\sqrt{x}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(\ln x)^n}{2^{n-1}n!}\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\frac{1}{2k+1}.$

• Інтегральний логарифм має єдиний нуль в точці $\mu\approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots$ — стала Рамануджана — Солднера

Комплексна змінна

Як функція комплексної змінної z інтегральний логарифм можна визначити:

$\mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x)=\gamma+\ln(- \ln z)+\sum_{n=1}^\infty\frac{(\ln z)^n}{n \cdot n!},$

Інтегральний логарифм тоді буде однозначною аналітичною функцією в комплексній площині z з розрізами уздовж дійсної осі від -$\infty$ до 0 і від 1 до $\infty$ (уявні частини логарифмів беруться при цьому в межах від -$\pi$ до $\pi$).

Застосування в теорії чисел

Інтегральний логарифм відіграє важливу роль у теорії чисел. Зокрема, згідно з теоремою про розподіл простих чисел:

$\pi(x)\sim\hbox{li}(x)\sim\hbox{Li}(x),\,$ де $\pi(x)$ — кількість простих чисел менших або рівних x.

Див. також

• Інтегральна показникова функція
• Інтегральний косинус
• Теорема про розподіл простих чисел

Джерела

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 2 — М.: Мир, 1985.