Аналітична функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Аналіти́чна фу́нкціяфункція, яка збігається зі своїм рядом Тейлора в околі будь-якої точки області визначення.

У випадку функції комплексної змінної ця властивість збігається із властивістю голоморфності.

Означення[ред.ред. код]

Означення 1[ред.ред. код]

Однозначна функція  f:\mathbb R\to\mathbb R називається аналітичною в точці \displaystyle z_0, якщо вона розкладається в ряд Тейлора в околі з центром у цій точці, і цей розклад збігається до функції \displaystyle f (в цьому околі). Тобто це функції, які можуть бути виражені степеневими рядами.

Дійсна функція  \displaystyle f(x) дійсного аргументу \displaystyle x називається аналітичною функцією у точці \displaystyle x числової осі, якщо можна вказати такий окіл \displaystyle (x_0-h, x_0+h) точки \displaystyle x_0, в якому \displaystyle f(x) визначена і може бути виражена формулою виду:

f(x)=\sum_{k=1}^\infty {a_k (x-x_0)^k}

де \displaystyle a_k — дійсні числа.

Можна показати, що \displaystyle a_0=f(x_0), \displaystyle a_k={1 \over {k!}} {f^k (x_0)}, де \displaystyle k=1, 2, 3, 4, \dots

(Дивись Тейлора ряд).

Зауваження[ред.ред. код]

Функція, аналітична в кожній точці інтервалу \displaystyle(a,b), називається аналітичною функцією на цьому інтервалі. Така функція необмежено диференційована на \displaystyle(a,b), але обернене твердження взагалі не має сили, як показує хоч би приклад функції

f(x)=10^{1 \over x^2} \ \  (-1<x<1)
f^{k}(0)=\lim_{n \to 0} {f^{k}(x)}=0 \qquad\  (k=1, 2, 3, 4, \dots)

де

що

не є А. ф. у точці x = 0.

Аналогічно визначається дійсна аналітична функція кількох дійсних аргументів. Усі ці визначення без принципових ускладнень поширюються і на комилексно-значні функції.

Означення 2[ред.ред. код]

Функцію \displaystyle f(z) комплексного аргументу \displaystyle z=x+iy називається аналітичною функцією від  \displaystyle z у точці \displaystyle z_0\in \mathbb C комплексної числової площини, якщо \displaystyle f(z) визначена в певному круговому околі \displaystyle (z-z_0) < \rho точки \displaystyle z_0 і може бути виражена в цьому околі формулою виду:

\displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^\infty {a_k (z-z_0)^k}

де \displaystyle a_k — певні комплексні числа.

Можна показати, що

\displaystyle a_0=f(z_0)\  \qquad, \displaystyle a_k={1 \over {k!}} {f^{k}(z_0)},\ \ (z=1, 2, 3, 4,\dots)

(див. Тейлора ряд).

Означення 3[ред.ред. код]

Функція, аналітична в кожній точці якоїсь області G комплексної числової площини, називається аналітичною в області \displaystyle G.

Зауваження[ред.ред. код]

Виявляється, що аналітичність \displaystyle f(z) в області \displaystyle G є наслідком звичайної її диференційовності в \displaystyle G. Аналітична функція кількох комплексних аргументів визначають аналогічно. Аналітичні в області \displaystyle G функції тісно пов'язані з гармонічними функціями в цій області, що часто зустрічаються при розв'язуванні так званих плоских задач математичної фізики. Цим в основному пояснюється і важливе застосовне значення самих аналітичних функцій.

Розвиток теорії аналітичних функцій[ред.ред. код]

У розвитку теорії аналітичних функцій важливу роль відіграли праці Леонарда Ейлера, Оґюстена-Луї Коші, Бернгард Рімана, Карла Вейєршраса.

В дореволюційній Росії істотні результати в застосуванні цієї теорії одержали Софія Василівна Ковалевська, Микола Єгорович Жуковський, С. О. Чаплигін, Г. В. Колосов. Після Жовтневої соціалістичної революції великих успіхів у розвитку теорії аналітичних функцій та їх застосуванні здобули наукові школи, очолювані академіком АН СРСР і УРСР М. О. Лаврентьєвим і професором Г. М. Голузіним. Розроблення проблематики теорії аналітичних функцій в СРСР тісно пов'язане з потребами народного господарства (авіабудівництва, будівництва гідротехнічних споруд та ін.). В УРСР над розробленням проблем теорії аналітичних функцій працюють члени-кореспонденти АН УРСР Наум Ахієзер і М. Г. Крейн, професори Б. Я. Левін, Володимир Олександрович Марченко, Г. М. Положій, В. А. Зморович, П. П. Фільчаков та ін.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Українська радянська енциклопедія. В 12-ти томах / За ред. М. Бажана. — 2-ге вид. — К.: Гол. редакція УРЕ, 1974-1985.
  • Ахієзер М. І. Курс теорії функцій. К., 1933;
  • Соколов Ю. Д Елементи теорії функцій комплексної змінної. К., 1954;
  • Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Изд. 9. М., 1954,
  • Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М — Л., 1950;
  • Маркушевич А. И. Кратний курс теории аналитических функций. М., 1957;
  • Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций. М.—Л., 1951.