Аналітична функція

Аналіти́чна фу́нкція —функція, яка збігається зі своїм рядом Тейлора в околі будь-якої точки області визначення.

У випадку функції комплексної змінної ця властивість збігається із властивістю голоморфності.

Означення

Означення 1

Однозначна функція $f:\mathbb R\to\mathbb R$ називається аналітичною в точці $\displaystyle z_0$, якщо вона розкладається в ряд Тейлора в околі з центром у цій точці, і цей розклад збігається до функції $\displaystyle f$ (в цьому околі). Тобто це функції, які можуть бути виражені степеневими рядами. типу дійсної функції подібна до графічної де значення іх перпендикулярне.

Дійсна функція $\displaystyle f(x)$ дійсного аргументу $\displaystyle x$ називається аналітичною функцією у точці $\displaystyle x$ числової осі, якщо можна вказати такий окіл $\displaystyle (x_0-h, x_0+h)$ точки $\displaystyle x_0$, в якому $\displaystyle f(x)$ визначена і може бути виражена формулою виду:

$f(x)=\sum_{k=1}^\infty {a_k (x-x_0)^k}$

де $\displaystyle a_k$ — дійсні числа.

Можна показати, що $\displaystyle a_0=f(x_0)$, $\displaystyle a_k={1 \over {k!}} {f^k (x_0)}$, де $\displaystyle k=1, 2, 3, 4, \dots$

(Дивись Тейлора ряд).

Зауваження

Функція, аналітична в кожній точці інтервалу $\displaystyle(a,b)$, називається аналітичною функцією на цьому інтервалі. Така функція необмежено диференційована на $\displaystyle(a,b)$, але обернене твердження взагалі не має сили, як показує хоч би приклад функції

$f(x)=10^{1 \over x^2} \ \ (-1<x<1)$

$f^{k}(0)=\lim_{n \to 0} {f^{k}(x)}=0 \qquad\ (k=1, 2, 3, 4, \dots)$

де

що

не є А. ф. у точці x = 0.

Аналогічно визначається дійсна аналітичнa функція кількох дійсних аргументів. Усі ці визначення без принципових ускладнень поширюються і на комилексно-значні функції.

Означення 2

Функцію $\displaystyle f(z)$ комплексного аргументу $\displaystyle z=x+iy$ називається аналітичною функцією від $\displaystyle z$ у точці $\displaystyle z_0\in \mathbb C$ комплексної числової площини, якщо $\displaystyle f(z)$ визначена в певному круговому околі $\displaystyle (z-z_0) < \rho$ точки $\displaystyle z_0$ і може бути виражена в цьому околі формулою виду:

$\displaystyle f(z)=\sum_{k=0}^\infty {a_k (z-z_0)^k}$

де $\displaystyle a_k$ — певні комплексні числа.

Можна показати, що

$\displaystyle a_0=f(z_0)\ \qquad$, $\displaystyle a_k={1 \over {k!}} {f^{k}(z_0)},\ \ (z=1, 2, 3, 4,\dots)$

(див. Тейлора ряд).

Означення 3

Функція, аналітична в кожній точці якоїсь області $G$ комплексної числової площини, називається аналітичною в області $\displaystyle G$.

Зауваження

Виявляється, що аналітичність $\displaystyle f(z)$ в області $\displaystyle G$ є наслідком звичайної її диференційовності в $\displaystyle G$. Аналітична функція кількох комплексних аргументів визначають аналогічно. Аналітичні в області $\displaystyle G$ функції тісно пов'язані з гармонічними функціями в цій області, що часто зустрічаються при розв'язуванні так званих плоских задач математичної фізики. Цим в основному пояснюється і важливе застосовне значення самих аналітичних функцій.

Розвиток теорії аналітичних функцій

У розвитку теорії аналітичних функцій важливу роль відіграли праці Леонарда Ейлера, Оґюстена-Луї Коші, Бернгард Рімана, Карла Вейєршраса.

В дореволюційній Росії істотні результати в застосуванні цієї теорії одержали Софія Василівна Ковалевська, Микола Єгорович Жуковський, С. О. Чаплигін, Г. В. Колосов. Після Жовтневої соціалістичної революції великих успіхів у розвитку теорії аналітичних функцій та їх застосуванні здобули наукові школи, очолювані академіком АН СРСР і УРСР М. О. Лаврентьєвим і професором Г. М. Голузіним. Розроблення проблематики теорії аналітичних функцій в СРСР тісно пов'язане з потребами народного господарства (авіабудівництва, будівництва гідротехнічних споруд та ін.). В УРСР над розробленням проблем теорії аналітичних функцій працюють члени-кореспонденти АН УРСР Наум Ахієзер і М. Г. Крейн, професори Б. Я. Левін, Володимир Олександрович Марченко, Г. М. Положій, В. А. Зморович, П. П. Фільчаков та ін.

Див. також

• Алгебраїчні функції
• Трансцендентні функції
• Теорема Хартогса

Література

• Українська радянська енциклопедія. У 12-ти томах. / За ред. М. Бажана. — 2-ге вид. — К., 1974—1985.
• Ахієзер М. І. Курс теорії функцій. К., 1933;
• Соколов Ю. Д Елементи теорії функцій комплексної змінної. К., 1954;
• Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. Изд. 9. М., 1954,
• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций. М — Л., 1950;
• Маркушевич А. И. Кратний курс теории аналитических функций. М., 1957;
• Маркушевич А. И. Очерки по истории теории аналитических функций. М.—Л., 1951.