Комплексне число

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ко́мпле́ксні чи́сла, — розширення поля дійсних чисел, зазвичай позначається \C. Будь-яке комплексне число може бути представлене, як формальна сума x+iy, де x і y — дійсні числа, i — уявна одиниця[1].

Комплексні числа утворюють алгебраїчно замкнуте поле — це означає, що многочлен ступеня n із комплексними коефіцієнтами має рівно n комплексних коренів (основна теорема алгебри). Це одна з головних причин широкого застосування комплексних чисел у математичних дослідженнях. Крім того, застосування комплексних чисел дозволяє зручно і компактно сформулювати багато математичних моделей, що застосовуються в математичній фізиці та природничих науках — електротехніці, гідродинаміці, картографії, квантовій механіці, теорії коливань і багатьох інших.

Означення[ред.ред. код]

Поле комплексних чисел можна розуміти як розширення поля дійсних чисел, в якому многочлен z^2+1 має корінь. Наступна модель показує можливість побудови такої системи чисел. Усі представлення комплексних чисел є ізоморфними розширеннями поля дійсних чисел \R, як і будь-які інші конструкції поля розкладу многочлена z^2+1.

Стандартна модель[ред.ред. код]

Комплексне число z можна визначити як упорядковану пару дійсних чисел (x, y). Введемо операції додавання і множення таких пар наступним чином:

  • (x,\;y)+(x',\;y')=(x+x',\;y+y');
  • (x,\;y)\cdot(x',\;y')=(xx'-yy',\;xy'+yx').

Дійсні числа є в цій моделі підмножиною множини комплексних чисел і представлені парами виду (x,\;0), причому операції з такими парами узгоджені зі звичайними додаванням і множенням дійсних чисел. Нуль представляється парою 0=(0,\;0),, одиниця — 1=(1,\;0),, а уявна одиниця — i=(0,\;1).. На множині комплексних чисел нуль і одиниця мають ті ж властивості, що і на множині дійсних, а квадрат уявної одиниці, як легко перевірити, дорівнює (-1,\;0), тобто -1.

Нескладно показати, що визначені вище операції мають ті ж властивості, що й аналогічні операції з числами. Винятком є ​​тільки властивості, пов'язані з відношенням порядку (більше-менше), тому що розширити порядок дійсних чисел, включивши в нього всі комплексні числа і при цьому зберігши звичайні властивості порядку, неможливо.

Арифметичні дії та інші операції[ред.ред. код]

Арифметичні дії виконуються аналогічно до дій з многочленами, але з урахуванням рівності i^2= -1\,. Нехай z_1=a+bi\, та z_2=c+di\, — комплексні числа. Тоді:

  1. z_1+z_2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\,
  2. z_1-z_2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\,
  3. z_1 z_2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i\,
  4. \frac{z_1}{z_2} = \frac{a+ib}{c+id} = \frac{(a+ib)(c-id)}{(c+id)(c-id)}
=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i

Для комплексних чисел певним чином визначають також інші операції, наприклад, піднесення до довільного комплексного степеня, логарифмування, знаходження синуса, косинуса тощо. Деякі з цих операцій не є однозначними і ведуть до розгляду багатозначних функцій, які взагалі часто виникають при вивченні функцій комплексної змінної. Теорію про функції комплексної змінної часто називають комплексним аналізом. Одним зі способів означення елементарних функцій комплексної змінної є задання такої функції як суми степеневого ряду, в який можна розкласти аналогічну функцію дійсної змінної (див. Ряд Тейлора).

Зв'язані визначення[ред.ред. код]

Нехай ~x і ~y — дійсні числа, такі, що комплексне число ~z=x+iy (звичайні позначення). Тоді

  • Числа \operatorname{Re}(z) і \operatorname{Im}(z) називаються відповідно дійсною (Real) і уявною (Imaginary) частинами ~z.
    • Якщо ~x=0, то ~z називається уявним або чисто уявним.
  • Число |z| = \sqrt{x^2+y^2} називається модулем числа ~z. Для дійсного числа модуль збігається з його абсолютною величиною. Деякі властивості модуля:
     | z | \geqslant 0 \,, причому  | z | = 0 \, тоді і тільки тоді, коли  z = 0 \,
     | z_1 + z_2 | \leqslant | z_1 | + | z_2 | \, (нерівність трикутника)
     | z_1 \cdot z_2 | = | z_1 | \cdot | z_2 | \,
     | z_1 / z_2 | = | z_1 | / | z_2 | \,
  • Кут \varphi такий, що: \cos \varphi = \frac {x} {|z|} і \sin \varphi = \frac {y} {|z|}~~, називається аргументом ~z. Для комплексного нуля значення аргумента не визначене, для ненульового числа ~z аргумент визначається з точністю до 2 k \pi, де k — будь-яке ціле число.

Спряжені числа[ред.ред. код]

Докладніше: Спряжені числа

Якщо комплексне число ~z=x+iy, то число ~\bar z=x-iy називається спряженим (або комплексно спряженим) до ~z.

Перехід до спряженого числа можна розглядати як одномісну операцію; перерахуємо її властивості.

  • \bar{\bar z} = z (спряжене до спряженого є початкове)
  • z \cdot \bar z = |z|^2
  • \overline {z_1 \pm z_2} = \bar {z_1} \pm \bar {z_2}
  • \overline {z_1 \cdot z_2} = \bar z_1 \cdot \bar z_2
  • \overline {z_1 / z_2} = \bar z_1 / \bar z_2

Узагальнення: \overline {p(z)} = p(\bar z), де p(z) — довільний комплексний многочлен.

  • |\bar{z}| = |z| (модуль спряженого числа такий же, як у вихідного)
  • \operatorname{Re}\ z=\frac {z+\bar z}{2}; \quad \operatorname{Im}\ z=\frac {z-\bar z}{2i}

Представлення комплексних чисел[ред.ред. код]

Геометричне представлення[ред.ред. код]

Геометрична інтерпретація комплексних чисел.

Комплексне число можна ототожнити з точкою площини:

Для переходу від однієї форми запису комплексного числа до іншої користуються формулою:

z=r(\cos \varphi+i\cdot\sin \varphi),

де r\, і \varphi — дійсні числа, причому r\, додатне. У такій формі можна подати довільне комплексне число, відмінне від 0.

r\, (називається модулем числа z\,) — це відстань між точкою (a,b)\, та початком координат.
\varphi (називається аргументом числа z\,) — кут (виражений у радіанах) між правою піввіссю осі абсцис і вищезгаданим вектором, причому кут відраховується проти годинникової стрілки (а в разі руху за стрілкою годинника береться зі знаком «мінус»).
a=r \cos\varphi,
b=r \sin\varphi,
 r=\sqrt{a^2+b^2}\,,
\cos\varphi=\frac{a}{r}, \qquad \sin\varphi=\frac{b}{r}, \qquad \text{tg}\;\varphi=\frac{b}{a}.

Подання числа у тригонометричній формі єдине з точністю до цілої кількості повних обертів, які можна додавати до аргументу.

З використанням формули формули Ейлера можна переписати тригонометричну форму так:

z=r e^{i\varphi}.

Геометричне представлення зручне для інтерпретації операцій над комплексними числами. Так, додавання та віднімання комплексних чисел рівносильне відповідно додаванню та відніманню відповідних векторів. При множенні комплексних чисел їх модулі множаться, а аргументи додаються (так що поворот навколо початку координат можна інтерпретувати як множення на певне комплексне число з одиничним модулем). При діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються. При піднесенні комплексного числа до цілого степеня його модуль підноситься до цього ж степеня, а аргумент множиться на показник степеня; це правило називається формулою Муавра і значно спрощує виконання піднесення комплексних чисел до великих степенів.

Комплексні числа, представлені в матричній формі[ред.ред. код]

Кожному комплексному числу a+ib\, (з дійсними a\, та b\,) можна поставити у відповідність квадратну матрицю 2-го порядку виду \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}. Така відповідність задає ізоморфізм між системою комплексних чисел і системою матриць такого виду, якщо додаванню, відніманню та множенню комплексних чисел поставити у відповідність звичайні додавання, віднімання та множення матриць. Легко бачити, що в цьому представлені операції комплексного спряження відповідає транспонування матриці. Дійсна одиниця представляється як одинична матриця \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, а уявна одиниця — як \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}.

Неважко прослідкувати, що справді вищезгадані арифметичні дії дають відповідні результати при виконанні їх над числами та над відповідними матрицями (що й доводить ізоморфність цих структур):

  1. \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a+c & -(b+d) \\ b+d & a+c \end{pmatrix}, що відповідає дії (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\,.
  2. \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} c & -d \\ d & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ac-bd & -(ad+bc) \\ ad+bc & ac-bd \end{pmatrix}, що відповідає дії (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\,.

Історія[ред.ред. код]

Вперше, мабуть, уявні величини з'явилися у відомій праці «Велике мистецтво, або про правила» алгебри Кардано (1545), який однак, визнав їх непридатними до вживання. Користь уявних величин, зокрема, при розв'язуванні кубічного рівняння, у випадку, коли дійсні корені многочлена виражаються через кубічний корінь з уявних величин, що не приводиться, вперше оцінив Бомбеллі (1572). Вирази вигляду a+b\sqrt{-1}, що з'являються при розв'язуванні квадратних і кубічних рівнянь, стали називати «уявними» в XVI—XVII століттях, проте навіть для багатьох значних учених XVII століття алгебраїчна і геометрична сутність уявних величин представлялася неясною. Лейбніц, наприклад, писав: «Дух божий знайшов якнайтоншу віддушину в цьому диві аналізу, виродку з світу ідей, подвійній суті, що знаходиться між буттям і небуттям, яку ми називаємо уявним коренем з від'ємної одиниці».

Довгий час було неясно, чи всі операції над комплексними числами приводять до комплексних результатів, або, наприклад, добування кореня може привести до відкриття якогось нового типу чисел. Задача про вираз кореня степеня n з даного числа була розв'язана в роботах Муавра (1707) і Котса (1722).

Символ i=\sqrt{-1} запропонував Ейлер (1777, опубл. 1794), що узяв для цього першу букву слова лат. imaginarius. Він же розповсюдив всі стандартні функції, включаючи логарифм, на комплексну область. Ейлер також висловив у 1751 році думку про замкнутість алгебри поля комплексних чисел. До такого ж висновку прийшов д'Аламбер (1747), але перший строгий доказ цього факту належить Гаусу (1799). Гаус ввів у загальний вжиток термін «комплексне число» в 1831 році, хоча цей термін раніше використовував в тому ж смислі французький математик Лазар Карно в 1803 році.

Геометричне тлумачення комплексних чисел і дій над ними з'явилося вперше в роботі Каспара Весселя (1799). Перші кроки в цьому напрямі були зроблені Валлісом (Англія) в 1685 році. Сучасне геометричне представлення, іноді зване «діаграмою Аргана», увійшло до вжитку після публікації в 1806-му і 1814-му роках роботи Аргана, що повторювала незалежно висновки Весселя.

Арифметична модель комплексних чисел як пари дійсних чисел була побудована Гамільтоном (1837); це довело несуперечність їхніх властивостей. Гамільтон запропонував узагальнення комплексних чисел — кватерніони, алгебра яких некомутативна.

Примітки[ред.ред. код]

  1. У теорії електричних кіл, символ \scriptstyle{i} інколи заміняють на \scriptstyle{j}, щоб не плутати зі стандартним позначенням електричного струму (\scriptstyle{i}).

Статті з математики, пов'язані з числами

Число | Натуральні числа | Цілі числа | Раціональні числа | Ірраціональні числа | Constructible numbers | Алгебраїчні числа | Трансцендентні числа | Computable numbers | Дійсні числа | Комплексні числа | Подвійні числа | Дуальні числа | Бікомплексні числа | Гіперкомплексні числа | Кватерніони | Октоніони | Седеніони | Superreal numbers | Hyperreal numbers | Surreal numbers | Nominal numbers | Ординальні числа | Кардинальні числа | P-адичні числа | Послідовності натуральних чисел | Математичні константи | Великі числа | Нескінченність