Верхня і нижня границі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Верхня границя (limsup) і нижня границя (liminf)

В математичному аналізі верхня і нижня границі визначаються для числових послідовностей чи функцій і використовуються при їх вивченні. На відміну від звичайної границі, верхня і нижня границі завжди існують (хоч і можуть бути рівними нескінченності). Для нижньої границі послідовності \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty} використовуються позначення \varliminf_{n \to \infty} x_n (поширене в українській і російській літературі) і \liminf_{n \to \infty} x_n (поширеніше в західній літературі). Для верхньої границі відповідні позначення мають вигляд \varlimsup_{n \to \infty} x_n і \limsup_{n \to \infty} x_n.

Визначення[ред.ред. код]

Визначення для послідовностей[ред.ред. код]

Нижню границю послідовності можна визначити:

\varliminf_{n \to \infty} x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\inf_{m\geq n}x_m\Big)

або

\varliminf_{n \to \infty} x_n := \sup_{n\geq 0}\,\inf_{m\geq n}x_m=\sup\{\,\inf\{\,x_m:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.

Подібним чином верхня границя послідовності (xn) визначається

\limsup_{n\to\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\sup_{m\geq n}x_m\Big)

або

\limsup_{n\to\infty}x_n := \inf_{n\geq 0}\,\sup_{m\geq n}x_m=\inf\{\,\sup\{\,x_m:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.

Визначення для функцій[ред.ред. код]

Нехай дано дійсну функцію f:I\to \R, де I \subset \R, і ξ — граничну точку I, тоді верхню і нижню границю функції в точці ξ можна визначити:

\varlimsup_{x\to\xi} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi-a,\xi+a) \cap I),
\varliminf_{x\to\xi} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi-a,\xi+a) \cap I).

Аналогічно можна визначити односторонні границі функції в точці:

\varlimsup_{x\to\xi+} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi,\xi+a) \cap I),
\varliminf_{x\to\xi+} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi,\xi+a) \cap I),
\varlimsup_{x\to\xi-} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi-a,\xi) \cap I),
\varliminf_{x\to\xi-} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi-a,\xi) \cap I).

Визначення для послідовності множин[ред.ред. код]

Нехай Ω — деяка множина, (An) — послідовність її підмножин. Тоді верхня і нижня границі цієї послідовності визначаються за формулами:

\varliminf_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}A_m\right)

і

\varlimsup_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right).

Приклади[ред.ред. код]

  • \varliminf_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \varlimsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0
  • \varliminf_{n \to \infty} \left( -1 \right)^n = -1
  • \varlimsup_{n \to \infty} \left( -1 \right)^n = +1

Властивості[ред.ред. код]

  • У будь-якої послідовності існують верхня і нижня границі, що належать множині \R\cup\lbrace-\infty,+\infty\rbrace.
  • Числова послідовність ~\{x_n\} збігається до ~a тоді і тільки тоді, коли \varliminf_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a.
  • Для будь-якого наперед узятого додатного числа ~\varepsilon всі елементи обмеженої числової послідовності \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}, починаючи з деякого номера, залежного від ~\varepsilon, лежать усередині інтервалу \left(\varliminf_{n \to \infty} x_n - \varepsilon, \varlimsup_{n \to \infty} x_n + \varepsilon \right).
  • Якщо за межами інтервалу \left( a, b \right) лежить лише скінченна кількість елементів обмеженої числової послідовності \left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}, то інтервал \left(\varliminf_{n \to \infty} x_n, \varlimsup_{n \to \infty} x_n \right) міститься в інтервалі \left( a, b \right).
  • Виконуються нерівності:
  • \inf_n x_n \leq \liminf_{n \to \infty} x_n \leq \limsup_{n \to \infty} x_n \leq \sup_n x_n
  • \varlimsup_{n \to \infty} (a_n + b_n) \leq \varlimsup_{n \to \infty}(a_n) + \varlimsup_{n \to \infty}(b_n).
\varliminf_{n \to \infty}(a_n) + \varliminf_{n \to \infty}(b_n) \leq \varliminf_{n \to \infty} (a_n + b_n).

Література[ред.ред. код]