Верхня і нижня границі

Верхня границя (limsup) і нижня границя (liminf)

В математичному аналізі верхня і нижня границі визначаються для числових послідовностей чи функцій і використовуються при їх вивченні. На відміну від звичайної границі, верхня і нижня границі завжди існують (хоч і можуть бути рівними нескінченності). Для нижньої границі послідовності $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$ використовуються позначення $\varliminf_{n \to \infty} x_n$ (поширене в українській і російській літературі) і $\liminf_{n \to \infty} x_n$ (поширеніше в західній літературі). Для верхньої границі відповідні позначення мають вигляд $\varlimsup_{n \to \infty} x_n$ і $\limsup_{n \to \infty} x_n.$

Визначення

Визначення для послідовностей

Нижню границю послідовності можна визначити:

$\varliminf_{n \to \infty} x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\inf_{m\geq n}x_m\Big)$

або

$\varliminf_{n \to \infty} x_n := \sup_{n\geq 0}\,\inf_{m\geq n}x_m=\sup\{\,\inf\{\,x_m:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.$

Подібним чином верхня границя послідовності (x_n) визначається

$\limsup_{n\to\infty}x_n := \lim_{n\to\infty}\Big(\sup_{m\geq n}x_m\Big)$

або

$\limsup_{n\to\infty}x_n := \inf_{n\geq 0}\,\sup_{m\geq n}x_m=\inf\{\,\sup\{\,x_m:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.$

Визначення для функцій

Нехай дано дійсну функцію $f:I\to \R,$ де $I \subset \R,$ і ξ — граничну точку I, тоді верхню і нижню границю функції в точці ξ можна визначити:

$\varlimsup_{x\to\xi} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi-a,\xi+a) \cap I),$

$\varliminf_{x\to\xi} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi-a,\xi+a) \cap I).$

Аналогічно можна визначити односторонні границі функції в точці:

$\varlimsup_{x\to\xi+} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi,\xi+a) \cap I),$

$\varliminf_{x\to\xi+} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi,\xi+a) \cap I),$

$\varlimsup_{x\to\xi-} f(x)=\inf_{a>0} \sup f((\xi-a,\xi) \cap I),$

$\varliminf_{x\to\xi-} f(x)=\sup_{a>0} \inf f((\xi-a,\xi) \cap I).$

Визначення для послідовності множин

Нехай Ω — деяка множина, (A_n) — послідовність її підмножин. Тоді верхня і нижня границі цієї послідовності визначаються за формулами:

$\varliminf_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}A_m\right)$

і

$\varlimsup_{n\rightarrow\infty} A_n={\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right).$

Приклади

• $\varliminf_{n \to \infty} \frac{1}{n} = \varlimsup_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

• $\varliminf_{n \to \infty} \left( -1 \right)^n = -1$

• $\varlimsup_{n \to \infty} \left( -1 \right)^n = +1$

Властивості

• У будь-якої послідовності існують верхня і нижня границі, що належать множині $\R\cup\lbrace-\infty,+\infty\rbrace.$
• Числова послідовність $~\{x_n\}$ збігається до $~a$ тоді і тільки тоді, коли $\varliminf_{n\rightarrow\infty}x_{n}=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a$.
• Для будь-якого наперед узятого додатного числа $~\varepsilon$ всі елементи обмеженої числової послідовності $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$, починаючи з деякого номера, залежного від $~\varepsilon$, лежать усередині інтервалу $\left(\varliminf_{n \to \infty} x_n - \varepsilon, \varlimsup_{n \to \infty} x_n + \varepsilon \right)$.
• Якщо за межами інтервалу $\left( a, b \right)$ лежить лише скінченна кількість елементів обмеженої числової послідовності $\left\{ x_n \right\}_{n = 1}^{\infty}$, то інтервал $\left(\varliminf_{n \to \infty} x_n, \varlimsup_{n \to \infty} x_n \right)$ міститься в інтервалі $\left( a, b \right)$.
• Виконуються нерівності:
• $\inf_n x_n \leq \liminf_{n \to \infty} x_n \leq \limsup_{n \to \infty} x_n \leq \sup_n x_n$
• $\varlimsup_{n \to \infty} (a_n + b_n) \leq \varlimsup_{n \to \infty}(a_n) + \varlimsup_{n \to \infty}(b_n).$

$\varliminf_{n \to \infty}(a_n) + \varliminf_{n \to \infty}(b_n) \leq \varliminf_{n \to \infty} (a_n + b_n).$

Література

• Фихтенгольц Г.М. (1966). Курс дифференциального и интегрального исчисления. том III. Москва: Наука. с. 656.