Вибіркове середнє

Вибіркове (емпіричне) середнє значення — характеристика положення для вибіркового розподілу.

Означення

Нехай $x_1, x_2,\ldots,x_n$ — випадкова вибірка.

Вибірковим середнім називається середнє арифметичне елементів даної вибірки:

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i = \frac {x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$.

Властивості вибіркового середнього

• Нехай $\hat{F}(x)$ — функція вибіркового розподілу. Тоді для будь-якого фіксованого $\omega \in \Omega$ функція $\hat{F}(\omega,x)$ є (невипадковою) функцією дискретного розподілу.

• Вибіркове середнє — незміщена оцінка теоретичного середнього значення: $\mathbb{E}\left[\bar{X}\right] = \mathbb{E}[X_i],\quad i=1,\ldots, n$.

• Вибіркове середнє — строго конзистентна оцінка теоретичного середнього: $\bar{X} \to \mathbb{E}[X_i]$ майже напевне при $n \to \infty$.

• Вибіркове середнє — асимтотично нормальна оцінка. Нехай дисперсія випадкових величин $X_i$ скінченна і ненульова, тобто $\mathrm{D}[X_i] = \sigma^2 < \infty, \sigma^2 \not=0,\; i=1,\ldots, n$. Тоді $\sqrt{n} \left(\bar{X} - \mathbb{E}[X_1]\right) \to \mathrm{N}(0,\sigma^2)$ за розподілом при $n \to \infty$, де $\mathrm{N}(0,\sigma^2)$ — нормальний розподіл з середнім $0$ і дисперсією $\sigma^2$.

• Вибіркове середнє з нормальної вибірки — ефективна оцінка її середнього.