Дисперсія випадкової величини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Цей термін має також інші значення. Див. Дисперсія.

Диспе́рсія (англ. Variance) або центральний момент другого порядку є мірою відхилення значень випадкової величини від середнього. Більші значення дисперсії свідчать про більші відхилення значень випадкової величини від середнього. Якщо дисперсія дорівнює 0, то всі реалізації випадкової величини знаходяться в одній точці.

[ред.] Визначення

Дисперсія є центральним моментом другого порядку μ₂, тобто, математичним сподіванням квадрату відхилення випадкової величини X^[1].

[ред.] Позначення

Різні автори по різному позначають дисперсію. Зокрема, дисперсія випадкової величини X може позначатись:

$\mathbf{D}X$ ;
$\sigma^2_X$ , де $σ$ — середньоквадратичне відхилення;
$var(X)$ .

[ред.] Неперервні величини

Значення дисперсії DX неперервної величини X обчислюється за формулою:^[2]

$\mathbf{E}((X - \nu)^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \nu)^2 f(x) dx$ ,

де

ν

— математичне сподівання випадкової велчини X, $\nu = \int x f(x) dx$ ,

f (x)

— функція розподілу ймовірностей.

[ред.] Дискретні величини

Значення дисперсії DX дискретної величини X обчислюється за формулою:

$\mathbf{D}X=\mu_2 = \mathbf{E}((X-\nu)^2)=\sum_x (x-\nu)^2p(x)$

де

ν

— математичне сподівання випадкової величини X, $\nu = \mathbf{E}X = \sum_x x p(x)$ ,

p (x)

— функція розподілу ймовірностей.

[ред.] Властивості

Одним із важливих співвідношень між дисперсією та моментами випдакової величини є:^[2]

$\sigma^2 = \mathbf{E}(X^2) - (\mathbf{E}(X))^2 = \mathbf{E}(X^2) - \nu^2$

де $ν$ — матмематичне сподівання.

Додавання константи до значень випдакової величини не змінює диспресії, а множення — збільшує пропорційно квадрату константи:^[2]

$\mathbf{D}(aX + b) = a^2 \mathbf{D}(X)$ .

де $a, b$ — константи.

Ймовірність великих флуктуацій $\nu \ge x$ обмежена нерівністю Чебишова:

$P(\nu \ge x) \le \frac{\sigma^2}{\epsilon^2}$

що дозволяє грубо оцінити таку ймовірність.

[ред.] Джерела інформації

↑ Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В.. Курс теории вероятности и математической статистики (1965), Наука.
↑ ^а ^б ^в T. T. Soong. Fundamentals of Probability and Statistics for Engineers (2004), Wiley. ISBN 0-470-86813-9.

[ред.] Дивіться також

У Вікіпедії є портал

«Математика»

Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

[smirnov-0] Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В.. Курс теории вероятности и математической статистики (1965), Наука.

[soong-1] а ^б ^в T. T. Soong. Fundamentals of Probability and Statistics for Engineers (2004), Wiley. ISBN 0-470-86813-9.

[1]

[2]

Дисперсія випадкової величини

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Визначення

[ред.] Позначення

[ред.] Неперервні величини

[ред.] Дискретні величини

[ред.] Властивості

[ред.] Джерела інформації

[ред.] Дивіться також

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами