Дисперсія випадкової величини

Диспе́рсія (англ. Variance) є мірою відхилення значень випадкової величини від центру розподілу. Більші значення дисперсії свідчать про більші відхилення значень випадкової величини від центру розподілу.

Вступ

Приклади

Дисперсія випадкової величини є одним з параметрів розподілу ймовірностей —це середньоквадратичне відхилення від норми. Інакше кажучи це математичне сподівання піднесеного до другого степеня відхилення цієї змінної від її очікуваного значення (її математичного сподівання). Отже дисперсія є вимірюванням величини розпорошеності значень цієї змінної, беручи до уваги всі її значення і їхні ймовірності або ваги.

Наприклад, ідеальна шестистороння кістка, якщо кинути, має таке очікування

$\frac 16(1+2+3+4+5+6)=3.5.$

Її очікуване абсолютне відхилення таке

$\frac 16(|1-3.5|+|2-3.5|+|3-3.5|+|4-3.5|+|5-3.5|+|6-3.5|)=\frac 16(2.5+1.5+ 0.5+0.5+1.5+2.5)=1.5.$

Але її очікуване квадратичне відхилення таке

$\frac 16 (2.5^2+1.5^2+0.5^2+0.5^2+1.5^2+2.5^2)=17.5/6\approx 2.9.$

Як ще один приклад, якщо монету підкинути двічі, кількість іверсів становить: 0 з імовірністю 0.25, 1 з імовірністю 0.5 і 2 з імовірністю 0.25. Отже очікування кількості аверсів таке:

$0.25 \times 0 + 0.5 \times 1 + 0.25 \times 2 = 1,$

і дисперсія така:

$0.25\times (0-1)^2+0.5\times (1-1)^2+0.25\times (2-1)^2 =0.25+0+0.25 = 0.5.$

Означення

Дисперсією випадкової величини $X$ називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання (середнього значення). Дисперсія є центральним моментом другого порядку.

Нехай випадкова змінна $X$ може набувати значення $x_1,x_2,\ldots,$ відповідно з ймовірностями $p(x_1),p(x_2),\ldots,$ причому $\sum_{x} p(x)=1\,$.

• Дисперсія дискретної випадкової величини $X$ має такий вигляд:

$\sigma^2\equiv\operatorname{D}(X)=\operatorname{E}[(X-\mu)^2]=\sum_{x} (x-\mu)^2p(x)$,

де

$\sigma=\sqrt{\sigma^2}\,$ і називається стандартним відхиленням величини $X$ від її середнього значення $\mu\,$;

$\operatorname{D}$ — це оператор дисперсії випадкової величини.

• Якщо випадкова величина ${\xi=x\,}$ задана густиною імовірності, тоді дисперсія виглядає так:

$\sigma^2\equiv\operatorname{D}(\xi)=\operatorname{E}[(\xi - \mu)^2] = \int_{X} (x - \mu)^2 p_{\xi}(x) dx$,

де

$\mu \equiv\operatorname{E}(\xi)=\int_{X} x p_{\xi}(x) dx$, тобто це середнє значення величини $\xi\,$;

$p_{\xi}(x)\,$ — функція густини імовірності.

Твердження

• Якщо є дискретна випадкова величина $X$, сума ймовірностей значень якої менше одиниці, тобто $\sum_{x} p(x)<1\,$, то дисперсія такої величини визначається так:

$\sigma^2=\operatorname{D}(X)=\operatorname{E}[(X-\mu)^2]=\frac{\sum_{x} (x-\mu)^2p(x)}{\sum_{x} p(x)}$.

Теореми

• Дисперсія являє собою різницю математичного очікування $\operatorname {E}(X^2)$ квадрата випадкової величини і квадрата середнього значення $\mu\,$ цієї величини:

$\sigma^2 = \operatorname{E}(X^2) - \mu^2=\sum_{x} x^2\,p(x)- \mu^2$.

• Теорема Чебишова: Ймовірність будь-якої випадкової величини $X\,$, яка приймає значення в границях $k\,$ стандартних відхилень від середнього значення $\mu\,$, не менше $1-\frac{1}{k^2}$, тобто

$P(\mu-k\sigma<X<\mu+k\sigma)\ge\,1-\frac{1}{k^2}$.

• Закон додавання дисперсій: Дисперсія $\sigma^2_{Y}$ суми $Y=X_1+X_2+\dots+X_N$ дискретних випадкових величин дорівнює алгебраїчній сумі $\operatorname{S}_{(K)}$ значень коваріаційної матриці системи цих величин:

$\sigma^2_{Y}\equiv\operatorname{D}(Y)=\operatorname{S}_{(K)}=\sum_{i=1}^{N}\operatorname{D}(X_i)+2\sum_{i=1}^{N-1}\sum_{j=i+1}^{N}\operatorname{Cov}(X_i,X_j).$

Властивості

• Дисперсія сталої величини дорівнює нулю, тобто $\operatorname{D}(c)=0$, де $c=const\,$.
• Додавання константи до значень випадкової величини не змінює дисперсії: $\operatorname{D}(X+c)=\operatorname{D}(X)$.
• Константу можна виносити в квадраті за знак дисперсії: $\operatorname{D}(c\,X)=c^2\operatorname{D}(X)$.
• Дисперсія випадкової змінної є невід'ємною величиною, тобто $\operatorname{D}(X)\ge\,0$.

Див. також

• Дисперсійний аналіз
• Моменти випадкової величини
• Коефіцієнт кореляції
• Квартет Анскомбе
• Генеральні дисперсії
• Вибіркові дисперсії
• Нерівність Чебишова
  • Вимірювання
• Підсумовування сукупностей вимірів
• Перемножування сукупностей вимірів