Гіпотеза Гольдбаха

У математиці гіпотезою Гольдбаха називається наступне твердження:

Довільне парне число не менше чотирьох можна подати у вигляді суми двох простих чисел.

$4 = 2 + 2$

$6 = 3 + 3$

$8 = 3 + 5$

$10 = 3 + 7 = 5 + 5$

$12 = 5 + 7$

$14 = 3 + 11 = 7 + 7$

$16 = 3 + 13 = 5 + 11$

$18 = 5 + 13 = 7 + 11$

$20 = 3 + 17 = 7 + 13$

і так далі.

Довільне непарне число не менше семи можна записати у вигляді суми трьох простих чисел.

Наприклад

$7 = 3 + 2 + 2$

$9 = 3 + 3 + 3$

і так далі.

Історія

У 1742 році прусський математик Крістіан Гольдбах написав лист Леонарду Ейлеру, в якому він висловив наступне припущення:

Кожне непарне число більше 5 можна представити у вигляді суми трьох простих чисел.

Ейлер зацікавився проблемою і висунув сильнішу гіпотезу:

Довільне парне число більше двох можна представити у вигляді суми двох простих чисел.

Перше твердження називається тернарною проблемою Гольдбаха, друге - бінарною проблемою Гольдбаха.

Тернарна проблема Гольдбаха

Тернарна проблема Гольдбаха формулюється так:

Довільне непарне число не менше 7 можна записати у вигляді суми трьох непарних простих.

Це твердження було доведено для всіх достатньо великих чисел Виноградовим у 1937 році, за що він одержав Сталінську премію і звання Героя Соціалістичної Праці.

У 1923 році математики Харді і Літлвуд показали, що у разі справедливості деякого узагальнення гіпотези Рімана, проблема Гольдбаха буде справедливою для всіх достатньо великих непарних чисел. У 1937 році Виноградов подав доведення, не залежне від справедливості гіпотези Рімана, тобто довів, що будь-яке достатньо велике непарне число може бути подано у виді суми трьох простих.

Надалі результат Виноградова багато разів покращували, поки в 1989 році Ванг і Чен не опустили нижню грань до $e^{e^{11,503}} \approx 3,33\cdot 10^{43000}$, що, проте, як і раніше знаходиться за межами досяжності для явної перевірки всіх менших чисел при сучасному розвитку обчислювальної техніки.

У 1997 році Дезуйе, Еффінгер, Те Ріле і Зінов'єв показали, що з узагальненої гіпотези Рімана випливає справедливість слабкої проблеми Гольдбаха. Вони довели її справедливість для чисел, що перевищують $10^{20}$, тоді як справедливість твердження для менших чисел легко встановлюється на комп'ютері.

Бінарна проблема Гольдбаха

Бінарна проблема Гольдбаха формулюється так:

Довільне парне число більше двох можна подати у вигляді суми двох простих чисел.

Бінарна проблема Гольдбаха далека від рішення.

Виноградов в 1937 році і Теодор Естерман в 1938 показали, що майже всі парні числа можна записати у вигляді суми двох простих чисел (частка тих чисел, що не задовольняють цю властивість, якщо вони існують, прямує до нуля). Цей результат трохи посилений 1975 року Х'ю Монтгомері (Hugh Montgomery) і Робертом Чарльзом Воном (Robert Charles Vaughan). Вони показали, що існують додатні константи c і C, такі що кількість парних чисел, не більших N, що не є сумою двох простих чисел, не перевищує $CN^{1-c}$. У 1995 році Ремер (Ramaré) довів, що будь-яке парне число — сума не більше 6 простих чисел.

У 1966 році Чень Цзінжунь (Chen Jingrun) довів, що будь-яке достатньо велике парне число є сумою двох простих чисел, або сумою простого числа і напівпростого числа (добутку двох простих чисел). Наприклад $100 = 23 + 7 \cdot 11$.

На липень 2008 року бінарна гіпотеза Гольдбаха була перевірена для всіх парних чисел, що не перевищують $1,2 \cdot 10^{18}$.

Посилання

Weisstein, Eric W. Goldbach Conjecture(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.