Матриця Якобі

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Матриця Якобі описує головну лінійну частину довільного відображення \mathbf{u}\colon\R^n\to\R^m.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай задано відображення \mathbf{u}:\R^n\to\R^m, \mathbf{u}=(u_1, \ldots ,u_m), u_i = u_i(x_1, \ldots , x_n), i = 1, \ldots , m ,, що має в деякій точці x всі часткові похідні першого порядку. Матриця J, складена з часткових похідних цих функцій в точці x, називається матрицею Якобі цієї системи функцій.


J(x) = \begin{pmatrix}
{\partial u_1 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_1 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_1 \over \partial x_n}(x) \\
{\partial u_2 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_2 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_2 \over \partial x_n}(x) \\
\cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\
{\partial u_m \over \partial x_1}(x) & {\partial u_m \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_m \over \partial x_n}(x)
\end{pmatrix}

Зв'язані визначення[ред.ред. код]

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо всі \mathbf{u}_i неперервно діференцюються в околі \mathbf{x}_0, то
    \mathbf{u}(x)=\mathbf{u}(x_0)+J(x_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)+o(|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|)
  • Хай \varphi\colon \Bbb{R}^n \to \Bbb{R}_m ,~\psi\colon \Bbb{R}^m \to \Bbb{R}^k — відображення, що диференціюються, J_\varphi, \ J_\psi — їхні матриці Якобі. Тоді матриця Якобі композиції відображень дорівнює добутку їхніх матриць Якобі (властивість функторіальності):
    J_{\psi \circ \varphi} = J_\psi J_\varphi
  • За теоремою Сарда, для гладкого (k-разів диференційовного) відображення, множина точок, на якій матриця Якобі вироджена, відображається у множину нульової міри (міра Лебега).

Див. також[ред.ред. код]