Матриця Якобі

Матриця Якобі описує головну лінійну частину довільного відображення $\mathbf{u}\colon\R^n\to\R^m$.

Визначення

Нехай задано відображення $\mathbf{u}:\R^n\to\R^m, \mathbf{u}=(u_1, \ldots ,u_m), u_i = u_i(x_1, \ldots , x_n), i = 1, \ldots , m ,$, що має в деякій точці x всі часткові похідні першого порядку. Матриця J, складена з часткових похідних цих функцій в точці x, називається матрицею Якобі цієї системи функцій.

$J(x) = \begin{pmatrix} {\partial u_1 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_1 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_1 \over \partial x_n}(x) \\ {\partial u_2 \over \partial x_1}(x) & {\partial u_2 \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_2 \over \partial x_n}(x) \\ \cdots & \cdots & \cdots &\cdots \\ {\partial u_m \over \partial x_1}(x) & {\partial u_m \over \partial x_2}(x) & \cdots & {\partial u_m \over \partial x_n}(x) \end{pmatrix}$

Зв'язані визначення

• Якщо m = n, то визначник $|J|$ матриці Якобі називається визначником Якобі (якобіаном) системи функцій $u_1, \ldots, u_n$.
• Відображення називають невиродженим, якщо його матриця Якобі має максимальний можливий ранг:

  $\mathrm{rg}\,J = \min(m,n)$

Властивості

• Якщо всі $\mathbf{u}_i$ неперервно діференцюються в околі $\mathbf{x}_0$, то

  $\mathbf{u}(x)=\mathbf{u}(x_0)+J(x_0)(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0)+o(|\mathbf{x}-\mathbf{x}_0|)$

• Хай $\varphi\colon \Bbb{R}^n \to \Bbb{R}_m ,~\psi\colon \Bbb{R}^m \to \Bbb{R}^k$ — відображення, що диференціюються, $J_\varphi$, $\ J_\psi$ — їхні матриці Якобі. Тоді матриця Якобі композиції відображень дорівнює добутку їхніх матриць Якобі (властивість функторіальності):

  $J_{\psi \circ \varphi} = J_\psi J_\varphi$

• За теоремою Сарда, для гладкого (k-разів диференційовного) відображення, множина точок, на якій матриця Якобі вироджена, відображається у множину нульової міри (міра Лебега).

Див. також

• Диференціал