Квантовий зарядовий осцилятор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Квантовий зарядовий осцилятор (Quantum Charge Oscillator) - аналітичне продовження класичного LC - осцилятора (коливального контура) на область квантової механіки. Із класичної електродонаміки відоме диференційне рівняння для реактивного коливального контура у вигляді:

L\frac{d^2q}{dt^2} + R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0

де L \ - індуктивність контура, R \ - активний опір системи (за рахунок з'єнувальних провідників) та C \ - ємність контура.

За своєю математичною формою і фізичним змістом це класичне диференційне рівняння еквівалентне диференційному рівнянню вільних затухаючих коливань кульки, підвішеної на пружині:

m\frac{d^2x}{dt^2} + r\frac{dx}{dt} + kx = 0

де m \ - маса кульки, r \ механічний опір коливанням маятника та k \ - коефіцієнт пружності.

Таким чином, в класичній фізиці ми маємо взаємну відповідність між механічними та електродинамічними фізичними величинами:

L \leftrightarrow m (індуктивність <--> маса)
C \leftrightarrow 1/k (ємність <--> 1/пружність)
x \leftrightarrow q (зміщення <--> заряд).

Необхідно відзначити, що все це було давно відомо, і не тільки в 60-х роках минулого століття, а і в 20-х. Тому може виникнути тривіальне запитання, чому класичний механічний осцилятор був розповсюджений на область квантової механіки, а електродинамічний осцилятор - ні? Очевидно, що відповідь на дане запитання слід шукати не в технічних труднощах переходу в область квантової механіки (оскільки з точки зору математики такий перехід є тривіальний!), а у відсутності "соціального заказу" на даний перехід. Проте з відкриттям Якимахи в середині 90-х років минулого століття "плоского атома" в однорідному електричному полі МДН- трпанзистора, такий "соціальний заказ" появився. Вперше дане рівняння Шредінгера було отримане в 1997 році франзузським спеціалістом по переходам Джозефсона Деворе. Нижче подані результати аналітичного переходу від класичної області в квантову.

Квантові оператори електромагнітних величин[ред.ред. код]

Оператор імпульса в зарядовому просторі можна подати у наступному вигляді:

\hat p_L = -i\hbar \frac{d}{dq}, \hat p_L^* = i\hbar \frac{d}{dq}

де \hbar- приведена стала Планка, а \hat p_L^*- комплексно- спряжений оператор імпульса. Оператор Гамільтона в зарядовому просторі можна подати у вигляді:

\hat H_L = -\frac{\hbar^2}{2L}\frac{d^2}{dq^2} + \frac{L\omega_0^2}{2}\hat q^2

де \hat q^* - комплексно- спряжений оператор заряду, а

\omega_0 = \sqrt{\frac{1}{LC} - \frac{R^2}{4L^2}} - резонансна частота коливного контура. Єдина відмінність зарядового простору від традиційного 3Д- простору в тому, що від одновимірний. Правда в ньому негативні координати необхідно сприймати цілком серйозно, адже вони пов'язані із зарядами!

Рівняння Шредінгера для електромагнітного осцилятора[ред.ред. код]

Використовуючи оператори зарядового простору, рівняння Шредінгера для електромагнітного осцилятора можна записати у вигляді:

-\frac{\hbar^2}{2L}\frac{d^2 \Psi}{dq^2} +  \frac{L\omega_0^2}{2}q^2\Psi = W\Psi

Для розв'язку цього рівняння необхідно ввести безрозмірні змінні для зарядів та енергії:

\xi = q\sqrt{\frac{L\omega_0}{\hbar}}
\lambda = \frac{2W}{\hbar\omega_0}

де q_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{L\omega_0}} - масштабний заряд.

Тоді рівняння Шредінгера в безрозмірних змінних приймає форму рівняння Чебишева- Ерміта:

(\frac{d^2}{d\xi^2} + \lambda - \xi^2)\Psi = 0

Власні значення гамільтоніана тут будуть:

W_n = \hbar \omega_0(n + 1/2). \

де при n = 0 маємо "нульові коливання":

W_0 = \hbar \omega_0/2. \

В загальному випадку масштабний заряд можна записати у вигляді:

q_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{L\omega_0}} = \frac{q}{\sqrt{4\pi \alpha }}

де \alpha \ - стала тонкої структури. Очевидно, що масштабний заряд суттєво відрізняється від заряду електрона. Більше того, його квантування буде:

q_{0n} = q_0\sqrt{2n +1}, n = 0,1,2,... \ .

Основні співвідношення для реактивного квантового контура[ред.ред. код]

Очевидно, що величини квантових індуктивностей та ємностей взаємозв'язані. В квантовому випадку так само, як і в класичному, ми маємо такі співвідношення для резонансної частоти та хвильового опору:

\omega_q = \frac{1}{\sqrt{LC}} \
\rho_q = \sqrt{\frac{L}{C}}

Ця система рівнянь дає можливість знаходження реактивних параметрів:

C = \frac{1}{\omega_q \rho_q} \
L = \frac{\rho_q}{\omega_q} \

Проте класичний хвильовий опір в класичній електродинаміці рівний величині:

\rho_q = \sqrt{\frac{L}{C}} = \sqrt{\frac{\mu_0 \mu}{\epsilon_0 \epsilon }}.

А у квантовому випадку із врахуванням співвідношень:

\mu = \epsilon = 1 \

ми будемо мати хвильовий опір вакууму:

\rho_q = \sqrt{\frac{\mu_0 }{\epsilon_0 }} = \rho_0..

На резонансну частоту LC- контура також накладається умова:

\omega_0 = \omega_q \ .

В загальному випадку повна енергія контура є постійна величина:

W_t = \frac{q^2}{2C} + \frac{LI^2}{2} = const.

Прирівнюючи цю енергію нульовим коливанням, знаходимо максимальний струм в контурі:

I_0^2 = \frac{\hbar \rho_0}{L^2}

А у випадку нульового струму в контурі, отримаємо максимальний заряд на ємності:

Q_0^2 = \frac{\hbar }{\rho_0}

Між цими величинами справедливе співвідношення:

I_0Q_0 = \hbar^2/L^2   .

Триєдина постановка задачі про квантовий рух частки маси m та заряду q[ред.ред. код]

Так само, як і рівняння Клейна- Гордона задача про квантовий зарядовий осцилятор самостійного значення не має. Будь який квантовий рух частки з відмінними від нуля масою та зарядом в рамках квантової фізики повинен розглядатися за допомогою самопогодженого розв'язку трьох квантовомеханічних рівнянь. Очевидно, що першим рівнянням повинно бути рівняння Шредінгера, що задає енергетичний і просторовий масштаби проблеми (аналог рівняння Н'ютона для руху частки). Другим повинно бути рівняння Клейна- Гордона що враховує релятивістську масу спокою частки, котра подається у вигляді стоячої хвилі матерії, на відстані, що визначається рівнянням Шредінгера. Тут також задається товщина стоячої хвилі матерії, котра рівна комптонівській довжині хвилі частки. І тільки третім рівнянням повинно бути рівняння зарядового осцилятора, в рамках якого використовуються реактивні параметри (ємність та індуктивність) стоячої хвилі матерії, товщина якої рівна комптонівській довжині частки.

Таким чином, рівняння Шредінгера задає основні параметри системи, зв'язані з рухом частки. Проте тільки рівняння Клейна- Гордона описує конкретну розмазку маси самопогоджену з рівнянням Шредінгера. А рівняння зарядових осциляцій описує розмазку заряду в тому ж об'ємі, що задає рівняння Клейна- Гордона.


Дивись також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Яворский Б.М, Детлаф А.А., Милковская Л.Б. Курс физики. Т.2. Электричество и магнетизм, Изд. 3-е испр., М.:Высшая школа, 1966.-412с.
  • Кузьмичев В.Е. Законы и формулы физики.- Киев: Наук. думка, 1989.- 864с.
  • Yakymakha O.L., Kalnibolotskij Y.M., Solid- State Electronics, vol.37, No.10,1994.,pp.1739-1751 pdf
  • Yakymakha O.L., Kalnibolotskij Y.M., Solid- State Electronics, vol.38, No.3,1995.,pp.661-671 pdf
  • Yakymakha O.L., High Temperature Quantum Galvanomagnetic Effects in the Two- Dimensional Inversion Layers of MOSFET's, p.91. Vyscha Shkola, Kyiv (1989).
  • Michel H.Devoret. Quantum Fluctuation in Electric Circuit.PDF