Гармонічний осцилятор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Коливання гармонічного осцилятора

Гармонічним осцилятором називається фізичний об'єкт, еволюція якого з часом описується диференціальним рівнянням

$\ddot{q}(t) + \omega^2 q(t) = 0$ ,

де $q$ — узагальнена координата гармонічного осцилятора, $t$ — час, $ω$ — характерна частота гармонічного осцилятора. Дві крапки над змінною означають другу похідну за часом. Величина $q$ здійснює гармонічні коливання.

Задача про гармонічний осцилятор відіграє центральну роль як у класичній, так і у квантовій фізиці.

Велика кількість фізичних систем ведуть себе як гармонічні осцилятори при малому відхиленні від рівноваги. До них належать математичний і фізичний маятники, коливання атомів у молекулах і твердих тілах, електричні коливальні контури і багато інших.

Зміст

1 Гармонічний осцилятор у класичній фізиці
2 Формули для розрахунку частот гармонічних осциляторів
3 Гармонічний осцилятор у квантовій механіці
4 Див. також
5 Джерела

[ред.] Гармонічний осцилятор у класичній фізиці

Малі коливання маятника є гармонічними

[ред.] Енергія, функція Лагранжа та Гамільтона

Кінетична енергія гармонічного осцилятора задається виразом

$K = \frac{1}{2} \dot{q}^2$ .

Потенціальна енергія гармонічного осцилятора задається виразом

$U = \frac{1}{2} \omega^2 q^2$ .

Відповідно, вважаючи величину $q$ узагальненою координатою, функція Лагранжа гармонічного осцлятора записується

$\mathcal{L} = \frac{1}{2} (\dot{q}^2 - \omega^2 q^2)$ .

Узагальнений імпульс

$p = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{q}} = \dot{q}.$

Функція Гамільтона

$\mathcal{H} = \frac{1}{2}(p^2 + \omega^2 q^2)$ .

[ред.] Вимушені коливання

Під дією зовнішньої періодичної сили із частотою, яка не обов'язково співпадає із власною частотою гармонічного осцилятора, осцилятор здійснює гармонічні коливання, аплітуда яких визначається величиною зовнішньої сили і співвідношенням зовнішньої частоти й власної частоти осцилятора.

Вимушені коливання гармонічного осцилятора із частотою $ω 0$ під дією сили з частотою $ω$ описуються рівнянням

$\ddot{q} + \omega_0^2 q = f_0 \cos (\omega t - \varphi)$ ,

де $f 0$ — амплітуда зовнішньої сили.

Частинний розв'язок цього рівняння, який описує вимушені коливання має вигляд

$q = \frac{f_0}{\omega_0^2 - \omega^2} \cos (\omega t - \varphi)$ .

Гармонічний осцитор під дією зовнішньої сили здійснює гармонічні коливання з амплітудою $f_0/(\omega_0^2 - \omega^2)$ . При $\omega \rightarrow \omega_0$ амплітуда вимушених коливань прямує до нескінченості. Це явище називається резонансом.

[ред.] Гармонічний осцилятор із затуханням

При врахуванні сил тертя чи супротиву іншого роду, який призводить до дисипації енергії осцилятора й перетворенні її в тепло, рівняння гармонічного осцилятора змінюються. Зокрема дуже поширений випадок, коли сили супротиву пропорційні швидкості зміни величини $q$ . Тоді рівняння гармонічного осцилятора набирає вигляду

$\ddot{q} + \gamma \dot{q} + \omega^2 q = 0$ .

Такі коливання затухають із часом згідно із законом

$q = q_0 e^{-\gamma t} \cos (\omega t - \varphi)$ .

[ред.] Вимушені коливання гармонічного осцилятора із затуханням

При дії періодичної зовнішньої сили навіть при затуханні для осцилятора встановлюються гармонічні коливання із амплітудою, яка залежить від прикладеної сили, співвідношення частот, а також від величини затухання.

Амплітуда вимушених коливань із врахуванням затухання визначається формулою

$q_0 = \frac{ f_0 (\omega_0^2 - \omega^2)}{(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \gamma^2 \omega^2}$ .

Це скінченна величина при всіх частотах зовнішньої сили.

[ред.] Формули для розрахунку частот гармонічних осциляторів

Математичний маятник при невеликому початковому відхиленні від вертикалі здійснює гармонічні коливання з частотою

$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$ ,

де g - прискорення вільного падіння, l - дожина маятника.

Тіло масою m на пружині із жорсткістю k, є гармонічним осцилятором з частотою

$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$

Коливальний контур є гармонічним осцилятором, із частотою

$\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ ,

де L - індуктивність, C - ємність.

[ред.] Гармонічний осцилятор у квантовій механіці

Детальніше див. Квантовий осцилятор.

[ред.] Спектр власних значень і власні функції

Хвильові функції перших шести станів із квантовими числами від n = 0 до 5. На осі ординат відкладена узагальнена координата

Гамільтоніан гармонічного осцилятора отримується заміною у функції Гамільтона імпульсу $p$ на $- i\hbar \frac{d}{d q}$

$\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2}\frac{d^2}{dq^2} + \frac{1}{2} \omega^2 q^2$ .

Спектр гармонічного осцилятора знаходиться із стаціонарного рівняння Шредінгера й задається формулою

$E_n = \hbar \omega \left( n + \frac{1}{2} \right)$ .

Тут $n$ — квантове число, яке пробігає значення від нуля до нескінченості. Енергетичні рівні гармонічного осцилятора еквідистантні. Характерною особливістю гармонічного осцилятора є те, що навіть у основному стані гармонічний осцилятор має відмінну від нуля енергію

$E_0 = \frac{1}{2}\hbar \omega$ .

Ця найнижча енергія називається енергією нульових коливань.

Власні функції гармонічного осцилятора, які відповідають квантовому числу $n$ задаються формулами

$\psi_n = e^{-x^2/2}H_n(x)$ ,

де $x = q\sqrt{\omega/\hbar}$ , а $H n (x)$ — поліноми Ерміта.

При парному $n$ власні функції гармонічного осцилятора парні, при непраному — непарні. Гамільтоніан гармонічного осцилятора комутує із оператором заміни $x$ на $- x$ (оператором парності), а тому має спільні власні функції з цим оператором.

[ред.] Оператори народження та знищення

Якщо визначити оператор народження

$\hat{a}^+ = \frac{1}{\sqrt{2\hbar \omega}}(\omega q - i \hat{p})$

та оператор знищення

$\hat{a} =\frac{1}{\sqrt{2\hbar \omega}}(\omega q + i \hat{p})$ ,

то

$\hat{H} = \hbar \omega \left( \hat{a}^+\hat{a} + \frac{1}{2} \right)$ .

Оператори народження та знищення задовільняють комутаційному співвідношенню:

$\hat{a}\hat{a}^+ - \hat{a}^+\hat{a} = 1$ .

Власні функції гармонічного осцилятора тоді мають вигляд

$\psi_n = \sqrt{n!} (\hat{a}^+)^n \psi_0$ ,

або, використовуючи нотацію кет і бра-векторів:

$|n> = \sqrt{n!} (\hat{a}^+)^n |0 \rangle$ .

Загалом дія оператора народження на гармонійний оператор у стані |n> призводить до переходу в стан |n+1>:

$\hat{a}^+ |n> = \sqrt{n+1}|n+1\rangle$ .

Дія оператора знищення на стан |n> призводить до переходу в стан |n-1>:

$\hat{a} |n> = \sqrt{n}|n-1\rangle$

Оператор

$\hat{N} = \hat{a}^+\hat{a}$

називають оператором числа частинок, оскільки для нього справедливе співвідношення.

$\hat{N}|n> = n|n\rangle$

[ред.] Правила відбору

При випромінюванні чи поглинанні фотона дозволеними переходами для гармонічного осцилятора є такі, при яких квантове число n змінюється на одиницю. Враховуючи еквідистантність рівнів, це правило відбору призводить до того, що, незважаючи на нескінченне число рівнів, у спектрі оптичного поглинання чи випромінювання гармонічного осцилятора є лише одна лінія з частотою $ω$ .

У реальних коливних спектрах молекул можливі відхилення від цього правила, зумовлені ангармонічністю реального потенціалу міжатомної взаємодії, квадрупольними переходами і т.д.

[ред.] Див. також

[ред.] Джерела

Федорченко А.М.. Теоретична механіка (1975), Київ: Вища школа., 516 с.

Федорченко А.М.. Теоретична фізика. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика. Т.2. (1993), Київ: Вища школа., 415 с.

Юхновський І.Р.. Основи квантової механіки (2002), Київ: Либідь.

Гармонічний осцилятор

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Гармонічний осцилятор у класичній фізиці

[ред.] Енергія, функція Лагранжа та Гамільтона

[ред.] Вимушені коливання

[ред.] Гармонічний осцилятор із затуханням

[ред.] Вимушені коливання гармонічного осцилятора із затуханням

[ред.] Формули для розрахунку частот гармонічних осциляторів

[ред.] Гармонічний осцилятор у квантовій механіці

[ред.] Спектр власних значень і власні функції

[ред.] Оператори народження та знищення

[ред.] Правила відбору

[ред.] Див. також

[ред.] Джерела

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами