Лемніската Бута

Лемніската Бута

Лемніска́та Бу́та — плоска алгебрична крива четвертого порядку, частковий випадок кривої Персея. Названа на честь англо-ірландського математика Джеймса Бута.

Рівняння у декартових координатах:

$(x^{2}+y^{2})^{2}-(2m^{2}+c)x^{2}+(2m^{2}-c)y^{2}=0.$

Види

Форма кривої залежить від співвідношення між параметрами $m$ і $c$. Якщо $c>2m^{2}$, то рівняння лемніскати набуде вигляду

$(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}$, де $a^{2}=2m^{2}+c$ і $b^{2}=c-2m^{2}.$

У цьому випадку лемніската Бута є подерою еліпса відносно його центра і називається еліптичною. Її рівняння у полярних координатах має вигляд

$\rho ^{2}=a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi .$

Якщо $c<2m^{2}$, то рівняння лемніскати набуде виду

$(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}x^{2}-b^{2}y^{2}$, де $a^{2}=2m^{2}+c$ і $b^{2}=2m^{2}-c.$

У цьому випадку лемніската Бута є подерою гіперболи відносно її центра і називається гіперболічною. Її рівняння у полярних координатах має вигляд

$\rho ^{2}=a^{2}\cos ^{2}\phi -b^{2}\sin ^{2}\phi .$

Часткові випадки

• При $c=2m^{2}$ лемніската Бута вироджується у два кола $x^{2}+y^{2}\pm 2mx=0.$
• При $c=0$ лемніската Бута вироджується у лемніскату Бернуллі.

Властивості

• Лемніската Бута — ортогональна проєкція на площину xOy лінії перетину поверхні параболоїда $x^{2}+y^{2}=cz$ з поверхнею конуса $a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=c^{2}z^{2}.$
• Лемніскату Бута можна отримати інверсією кривої другого порядку $a^{2}x^{2}\pm b^{2}y^{2}=k^{4}$ з центром у початку координат.

Площа

За допомогою рівняння лемніскати у полярних координатах можна визначити площу, яку вона обмежує. Для еліптичної лемніскати:

$2\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}(a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi )d\phi ={\frac {\pi }{2}}(a^{2}+b^{2}).$

Для гіперболічної лемніскати:

$\int \limits _{0}^{\operatorname {arctg} {\frac {a}{b}}}(a^{2}\cos ^{2}\phi -b^{2}\sin ^{2}\phi )d\phi ={\frac {a^{2}-b^{2}}{2}}\operatorname {arctg} {\frac {a}{b}}+{\frac {ab}{2}}.$

Див. також

• Лемніската Бернуллі
• Овал Кассіні

Джерела

• А. А. Савелов. Кривые Персея // Плоские кривые: систематика, свойства, применение / Под ред. А. П. Нордена. — М. : Физматлит, 1960. — С. 144—146.
• Математическая энциклопедия / Под. ред. И. М. Виноградова. — Советская энциклопедия, 1977. — Т. 1. — С. 566.
• Weisstein, Eric W. Hippopede(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Courbe de Booth [Архівовано 12 травня 2020 у Wayback Machine.](фр.)