Гіпербола (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Гіпербола є відкритою кривою з двома гілками, що утворюється внаслідок перетину конічної поверхні площиною.

Гіпербола (грец. ὑπερβολή) — крива другого порядку з ексцентриситетом більшим за одиницю.

Визначення[ред.ред. код]

Гіпербола є невиродженою кривою другого порядку, яка задається рівнянням:[1]

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

де a > 0 та b > 0 — параметри. Таке рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи.[2]

Нехай канонічне рівняння кривої другого порядку шляхом переносу центру координат перетворено у вигляд:

y^2 = 2px - (1 - \varepsilon^2)x^2.

В цьому випадку крива проходить через початок координат нової системи; вісь абсцис є віссю симетрії кривої. Це рівняння відображає той факт, що невироджена крива другого порядку є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких \varepsilon \ge 0 (ексцентриситет) від заданої точки (фокуса) та від заданої прямої (директриса) незмінна. Крива є гіперболою, якщо \varepsilon > 1.[1] Тобто, гіпербола є геометричним місцем точок, абсолютна величина різниці відстаней яких від фокусів дорівнює 2a (фокальна властивість гіперболи). Директоріальна властивість гіперболи полягає в тому, що гіпербола є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких від фокуса до одноіменної директриси дорівнює e.[2]

Властивості[ред.ред. код]

Якщо в канонічному рівнянні гіперболи a = b, то гіпербола називається рівнобічною. В координатах

u = \frac{\sqrt{2}}{2}(x - y), \qquad v = \frac{\sqrt{2}}{2}(x + y),

рівняння рівнобічної гіперболи

x^2 - y^2 = a^2

матиме вигляд:

uv = 2a^2

звідки випливає, що по відношенню до координат u та v рівнобічна гіпербола являє собою графік звортньо-пропорційної залежності. В координатах x та y маємо такий саме графік обернений на кут \frac{\pi}{4}.[2]

При u \to \pm \infty (а також при v \to \pm \infty) графік зворотньо-пропорційної залежності щільніше притіскається до осі абсцис v=0 (відповідно, до осі ординат u=0), оскільки ці осі є асимптотами (двобічними) графіку. В канонічних координатах x, y ці асимптоти є бісектрисами y = x та y = -x координатних кутів.[2]

З гіперболою пов'язані такі числові властивості:

  • число a, що зветься дійсною напіввіссю;
  • число b, що зветься уявною напіввіссю;
  • число c = \sqrt{a^2 + b^2}, що зветься лінійним ексцентриситетом;
  • число 2c, що зветься фокусною відстаню;
  • число e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}, що називається числовим ексцентриситетом;
  • число p=\frac{b^2}{a}, що зветься фокальним параметром;
  • вісь абсцис, що зветься дійсною (або фокальною) віссю;
  • вісь ординат, що зветься уявною віссю;
  • точка O(0,0), що зветься центром;
  • точки (\pm a, 0), що звуться вершинами;
  • точки (\pm c, 0), що звуться фокусами;
  • прямі x = \pm \frac{a}{e}, що звуться директрисами.

Посилання[ред.ред. код]

  1. а б Корн Г., Корн Т. (1984). «2.4-8». Справочник по математике для научних работников и инженеров (рос.) (вид. друге). Москва: Наука. 
  2. а б в г Постников М. М. (1979). Аналитическая геометрия. «Наука». 

Дивіться також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Постников М. М. (1979). Аналитическая геометрия. «Наука».