Гіпербола (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Перейти до: навігація, пошук

Цей термін має також інші значення. Див. Гіпербола.

Гіпербола є відкритою кривою з двома гілками, що утворюється внаслідок перетину подвійного конуса площиною.

Гіпербола (грец. ὑπερβολή) — крива другого порядку з ексцентриситетом більшим за одиницю.

[ред.] Визначення

Гіпербола є невиродженою кривою другого порядку, яка задається рівнянням:^[1]

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

де $a > 0$ та $b > 0$ — параметри. Таке рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи.^[2]

Нехай канонічне рівняння кривої другого порядку шляхом переносу центру координат перетворено у вигляд:

$y^2 = 2px - (1 - \varepsilon^2)x^2.$

В цьому випадку крива проходить через початок координат нової системи; ось абсцис є віссю симетрії кривої. Це рівняння відображає той факт, що невироджена крива другого порядку є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких $\varepsilon \ge 0$ (ексцентриситет) від заданої точки (фокуса) та від заданої прямої (директриса) незмінна. Крива є гіперболою, якщо $\varepsilon > 1$ .^[1] Тобто, гіпербола є геометричним місцем точок, абсолютна величина різниці відстаней яких від фокусів дорівнює $2 a$ (фокальна властивість гіперболи). Директоріальна властивість гіперболи полягає в тому, що гіпербола є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких від фокуса до одноіменної директриси дорівнює $e$ .^[2]

[ред.] Властивості

Гіпербола та її фокуси.

Гіпербола та її напіввіссі та асимптоти.

Рівнобічна гіпербола.

Якщо в канонічному рівнянні гіперболи $a = b$ , то гіпербола називається рівнобічною. В координатах

$u = \frac{\sqrt{2}}{2}(x - y), \qquad v = \frac{\sqrt{2}}{2}(x + y),$

рівняння рівнобічної гіперболи

x 2 - y 2 = a 2

матиме вигляд:

u v = 2 a 2

звідки випливає, що по відношенню до координат $u$ та $v$ рівнобічна гіпербола представляє собою графік звортньо-пропорційної залежності. В координатах $x$ та $y$ маємо такий саме графік обернений на кут $\frac{\pi}{4}$ .^[2]

При $u \to \pm \infty$ (а також при $v \to \pm \infty$ ) графік звортньо-пропорційної залежності щільніше притіскається до осі абсцис $v = 0$ (відповідно, до осі ординат $u = 0$ ), оскільки ці осі є асимптотами (двобічними) графіку. В канонічних координатах $x$ , $y$ ці асимптоти є бісектрисами $y = x$ та $y = - x$ координатних кутів.^[2]

З гиперболою пов'язані наступні числові властивості:

число $a$ , що зветься дійсною напіввіссю;
число $b$ , що зветься уявною напіввіссю;
число $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ , що зветься лінійним ексцентриситетом;
число $2 c$ , що зветься фокусною відстаню;
число $e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ , що називається числовим ексцентриситетом;
число $p=\frac{b^2}{a}$ , що зветься фокальним параметром;
вісь абсцис, що зветься дійсною (або фокальною) віссю;
вісь ординат, що зветься уявною віссю;
точка $O (0,0)$ , що зветься центром;
точки $(\pm a, 0)$ , що звуться вершинами;
точки $(\pm c, 0)$ , що звуться фокусами;
прямі $x = \pm \frac{a}{e}$ , що звуться директрисами.

[ред.] Посилання

↑ ^а ^б Корн Г., Корн Т.. «2.4-8», Справочник по математике для научних работников и инженеров, вид. друге (1984) (рос.), Москва: Наука.
↑ ^а ^б ^в ^г Постников М. М.. Аналитическая геометрия (1979), «Наука».

[ред.] Дивіться також

У Вікіпедії є портал

«Математика»

[ред.] Література

Постников М. М.. Аналитическая геометрия (1979), «Наука».

[korn-0] а ^б Корн Г., Корн Т.. «2.4-8», Справочник по математике для научних работников и инженеров, вид. друге (1984) (рос.), Москва: Наука.

[postnikov-1] а ^б ^в ^г Постников М. М.. Аналитическая геометрия (1979), «Наука».

[1]

[2]

Гіпербола (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Визначення

[ред.] Властивості

[ред.] Посилання

[ред.] Дивіться також

[ред.] Література

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами