Гіпербола (математика)

Гіпербола є відкритою кривою з двома гілками, що утворюється внаслідок перетину конічної поверхні площиною.

Гіпербола (грец. ὑπερβολή) — крива другого порядку з ексцентриситетом більшим за одиницю.

Визначення

Гіпербола є невиродженою кривою другого порядку, яка задається рівнянням:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

де $a > 0$ та $b > 0$ — параметри. Таке рівняння називається канонічним рівнянням гіперболи.

Нехай канонічне рівняння кривої другого порядку шляхом переносу центру координат перетворено у вигляд:

$y^2 = 2px - (1 - \varepsilon^2)x^2.$

В цьому випадку крива проходить через початок координат нової системи; вісь абсцис є віссю симетрії кривої. Це рівняння відображає той факт, що невироджена крива другого порядку є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких $\varepsilon \ge 0$ (ексцентриситет) від заданої точки (фокуса) та від заданої прямої (директриса) незмінна. Крива є гіперболою, якщо $\varepsilon > 1$. Тобто, гіпербола є геометричним місцем точок, абсолютна величина різниці відстаней яких від фокусів дорівнює $2a$ (фокальна властивість гіперболи). Директоріальна властивість гіперболи полягає в тому, що гіпербола є геометричним місцем точок, відношення відстаней яких від фокуса до одноіменної директриси дорівнює $e$.

Властивості

• 

  Гіпербола та її фокуси.

• 

  Гіпербола та її напіввіссі та асимптоти.

• 

  Рівнобічна гіпербола.

Якщо в канонічному рівнянні гіперболи $a = b$, то гіпербола називається рівнобічною. В координатах

$u = \frac{\sqrt{2}}{2}(x - y), \qquad v = \frac{\sqrt{2}}{2}(x + y),$

рівняння рівнобічної гіперболи

$x^2 - y^2 = a^2$

матиме вигляд:

$uv = 2a^2$

звідки випливає, що по відношенню до координат $u$ та $v$ рівнобічна гіпербола представляє собою графік звортньо-пропорційної залежності. В координатах $x$ та $y$ маємо такий саме графік обернений на кут $\frac{\pi}{4}$.

При $u \to \pm \infty$ (а також при $v \to \pm \infty$) графік зворотньо-пропорційної залежності щільніше притіскається до осі абсцис $v=0$ (відповідно, до осі ординат $u=0$), оскільки ці осі є асимптотами (двобічними) графіку. В канонічних координатах $x$, $y$ ці асимптоти є бісектрисами $y = x$ та $y = -x$ координатних кутів.

З гіперболою пов'язані такі числові властивості:

• число $a$, що зветься дійсною напіввіссю;
• число $b$, що зветься уявною напіввіссю;
• число $c = \sqrt{a^2 + b^2}$, що зветься лінійним ексцентриситетом;
• число $2c$, що зветься фокусною відстаню;
• число $e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$, що називається числовим ексцентриситетом;
• число $p=\frac{b^2}{a}$, що зветься фокальним параметром;
• вісь абсцис, що зветься дійсною (або фокальною) віссю;
• вісь ординат, що зветься уявною віссю;
• точка $O(0,0)$, що зветься центром;
• точки $(\pm a, 0)$, що звуться вершинами;
• точки $(\pm c, 0)$, що звуться фокусами;
• прямі $x = \pm \frac{a}{e}$, що звуться директрисами.

Дивіться також

• Парабола,
• Еліпс.

Література

• Постников М. М. (1979). Аналитическая геометрия. «Наука».