Еліпс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Еліпс утворений перетином конуса і нахиленої площини
Еліпс із фокусами

Еліпс в геометрії — лінія другого порядку.

Термін походить від грец. ἔλλειψις — нестача, пропуск, випадіння (мається на увазі «неповнота» або «дефектність» еліпса порівняно з «повним» колом або кругом).

Аналітичне визначення[ред.ред. код]

Еліпс в прямокутній системі координат

Еліпсом називають лінію, яка в деякій декартовій прямокутній системі координат задається рівнянням:

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

Еліпс належить до кривих другого порядку.

Визначальна властивість еліпса[ред.ред. код]

Точки \left. F_1 \right. і \left. F_2 \right. називають фокусами еліпса, а відстань між ними — фокусною відстанню, її позначають через \boldsymbol{2c}, отже, \left| F_1 F_2 \right| = 2c. Суму відстаней від будь-якої точки \left. M \right. еліпса до фокусів \left. F_1 \right. і \left. F_2 \right. позначимо \boldsymbol{2a}. Тоді за означенням маємо: \left. 2a > 2c,\;a>c \right.. Звідси можна сказати, що еліпс складається з таких і тільки таких точок \left. M \right., які задовольняють умові: \left| F_1 M \right| + \left| F_2 M \right| = 2a

Геометричне визначення[ред.ред. код]

Еліпсом називається множина всіх точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок \left. F_1 \right. і \left. F_2 \right. цієї площини є величина стала, більша за відстань між \left. F_1 \right. і \left. F_2 \right..

Елементи еліпса[ред.ред. код]

Вершини еліпса[ред.ред. код]

Точки A,\;A_1,\;B,\;B_1 перетину еліпса з осями прямокутної системи координат, вибраної так щоб початок координат був серединою відрізка \left| F_1 F_2 \right|, а вісь \left. Ox \right. збігалася з прямою \left( F_1 F_2 \right), називають вершинами еліпса.

Осі еліпса[ред.ред. код]

Відрізок \left| A A_1 \right| = 2a, що проходить через обидва фокуси \left. F_1 \right. і \left. F_2 \right., називають великою віссю еліпса, а перпендикулярний йому відрізок \left| B B_1 \right| = 2b, що перетинається з великою віссю в центрі еліпса \left. O \right. – відповідно його малою віссю. Довжина цих відрізків відповідає умові \left. a^2 - b^2 = c^2 \right.. Еліпс симетричний відносно своїх осей та центра.

Директриса та ексцентриситет[ред.ред. код]

Число e = {c \over a} це ексцентриситет еліпса, величина, що характеризує його витягнутість; для еліпса \boldsymbol{e} < 1. Прямі, рівняння яких  x = - {a \over e} та  x = {a \over e} називаються директрисами еліпса; відношення відстані від будь-якої точки еліпса до найближчого фокусу до відстані до найближчої директриси стале і дорівнює ексцентриситету.

Зауважимо, що величинами, які характеризують еліпс, є велика і мала півосі \boldsymbol{a} і \boldsymbol{b}, відстань \boldsymbol{c} фокуса від центру, ексцентриситет \boldsymbol{e}. Залежність між ними виражається формулами: a^2 = b^2 + c^2,\;e = {c \over a}. Тому, щоб скласти рівняння еліпса, досить знати або півосі \left. a \right. і \left. b \right., або одну піввісь і ексцентриситет і т.д.

Якщо точки \left. F_1 \right. і \left. F_2 \right. збігаються, то еліпс стає колом радіуса \left. a \right.. При цьому \left.a = b,\;e = 0\right.. Отже, коло є окремим випадком еліпса.

Різні види рівнянь еліпса[ред.ред. код]

Канонічне рівняння еліпса[ред.ред. код]

\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1

Параметричне рівняння еліпса[ред.ред. код]

\left\{\begin{matrix} x = a \cos \alpha \\ y = b \sin \alpha \end{matrix}\right. де  0 \leqslant \alpha < 2 \pi

Нормальне рівняння еліпса[ред.ред. код]

\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1

Довжина дуги еліпса[ред.ред. код]

Довжина дуги еліпса обчислюється за формулою:

l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right) ^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \,dt.

Використавши параметричний запис рівняння еліпса, отримуємо наступний вираз:

l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t}\,dt.

Після заміни b^2 = a^2 \left(1 - e^2 \right) вираз довжини дуги приймає остаточний вигляд:

l = a \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt,\;\;\; e < 1.

Отриманий інтеграл належить до родини еліптичних інтегралів, які не виражаються у елементарних функціях, і зводиться до еліптичного інтегралу другого роду E \left(t,e \right). Зокрема, периметр еліпса дорівнює:

l = 4a \int \limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt = 4aE(e),

де E \left(e \right) — повний еліптичний інтеграл Лежандра другого роду.

Наближені формули периметра[ред.ред. код]

YNOT: L=4 \cdot \left(a^x+b^x\right)^\left(1/x\right), де x=\frac{ln2}{ln(\frac{\pi}{2})}. Максимальна похибка цієї формули становить близько 0,3619 % при ексцентриситеті еліпса близько 0,979811 (відношення осей ~1/5). Похибка завжди додатна.

Дуже наближена формула: L = \pi \cdot  \left( a + b \right)

Дотична[ред.ред. код]

Рівняння дотичної до еліпса через точку \left. M_0 \right., яка належить еліпсу

\frac{x x_0}{a^2} + \frac{y y_0}{b^2} = 1

Див. також[ред.ред. код]