Еліпс

Еліпс із фокусами

Еліпс в геометрії — лінія другого порядку.

Термін походить від грец. ἔλλειψις — нестача, пропуск, випадіння (мається на увазі «неповнота» або «дефектність» еліпсу порівняно з «повним» колом або кругом).

Аналітичне визначення

Еліпсом називають лінію, яка в деякій декартовій прямокутній системі координат задається рівнянням:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Еліпс належить до кривих другого порядку.

Визначальна властивість еліпса

Точки $\left. F_1 \right.$ і $\left. F_2 \right.$ називають фокусами еліпса, а відстань між ними — фокусною відстанню, її позначають через $\boldsymbol{2c}$, отже, $\left| F_1 F_2 \right| = 2c$. Суму відстаней від будь-якої точки $\left. M \right.$ еліпса до фокусів $\left. F_1 \right.$ і $\left. F_2 \right.$ позначимо $\boldsymbol{2a}$. Тоді за означенням маємо: $\left. 2a > 2c,\;a>c \right.$. Звідси можна сказати, що еліпс складається з таких і тільки таких точок $\left. M \right.$, які задовольняють умові: $\left| F_1 M \right| + \left| F_2 M \right| = 2a$

Геометричне визначення

Еліпсом називається множина всіх точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок $\left. F_1 \right.$ і $\left. F_2 \right.$ цієї площини є величина стала, більша за відстань між $\left. F_1 \right.$ і $\left. F_2 \right.$.

Елементи еліпса

Вершини еліпса

Точки $A,\;A_1,\;B,\;B_1$ перетину еліпсу з осями прямокутної системи координат, вибраної так щоб початок координат був серединою відрізка $\left| F_1 F_2 \right|$, а вісь $\left. Ox \right.$ збігалася з прямою $\left( F_1 F_2 \right)$, називають вершинами еліпсу.

Осі еліпса

Відрізок $\left| A A_1 \right| = 2a$, що проходить через обидва фокуси $\left. F_1 \right.$ і $\left. F_2 \right.$, називають великою віссю еліпса, а перпендикулярний йому відрізок $\left| B B_1 \right| = 2b$, що перетинається з великою віссю в центрі еліпса $\left. O \right.$ – відповідно його малою віссю. Довжина цих відрізків відповідає умові $\left. a^2 - b^2 = c^2 \right.$. Еліпс симетричний відносно своїх осей та центру.

Директриса та ексцентриситет

Число $e = {c \over a}$ це ексцентриситет еліпса, величина, що характеризує його витягнутість; для еліпсу $\boldsymbol{e} < 1$. Прямі, рівняння яких $x = - {a \over e}$ та $x = {a \over e}$ називаються директрисами еліпса; співвідношення відстані від будь-якої точки еліпса до найближчого фокусу до відстані до найближчої директриси стале і дорівнює ексцентриситету.

Зауважимо, що величинами, які характеризують еліпс, є велика і мала півосі $\boldsymbol{a}$ і $\boldsymbol{b}$, відстань $\boldsymbol{c}$ фокуса від центру, ексцентриситет $\boldsymbol{e}$. Залежність між ними виражається формулами: $a^2 = b^2 + c^2,\;e = {c \over a}$. Тому, щоб скласти рівняння еліпса, досить знати або півосі $\left. a \right.$ і $\left. b \right.$, або одну піввісь і ексцентриситет і т.д.

Якщо точки $\left. F_1 \right.$ і $\left. F_2 \right.$ збігаються, то еліпс стає колом радіуса $\left. a \right.$. При цьому $\left.a = b,\;e = 0\right.$. Отже, коло є окремим випадком еліпса.

Різні види рівнянь еліпса

Еліпс в полярній системі координат.

Канонічне рівняння еліпса

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

Параметричне рівняння еліпса

$\left\{\begin{matrix} x = a \cos \alpha \\ y = b \sin \alpha \end{matrix}\right. 0<=alpha<=2pi$

Нормальне рівняння еліпса

$\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1$

Довжина дуги еліпса

Довжина дуги еліпса обчислюється за формулою:

$l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right) ^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \,dt.$

Використавши параметричний запис еліпса отримуємо наступний вираз:

$l = \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t}\,dt.$

Після заміни $b^2 = a^2 \left(1 - e^2 \right)$ вираз довжини дуги приймає остаточний вигляд:

$l = a \int \limits_{t_1}^{t_2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt,\;\;\; e < 1.$

Отриманий інтеграл належить до родини еліптичних інтегралів, які не виражаються у елементарних функціях, і зводиться до еліптичного інтегралу другого роду $E \left(t,e \right)$. Зокрема, периметр еліпса дорівнює:

$l = 4a \int \limits_{0}^{\pi/2} \sqrt{1 - e^2 \cos^2 t}\,dt = 4aE(e)$,

де $E \left(e \right)$ — повний еліптичний інтеграл Лежандра другого роду.

Наближені формули периметра

YNOT: $L=4 \cdot \left(a^x+b^x\right)^\left(1/x\right)$, де $x=\frac{ln2}{ln(\frac{\pi}{2})}$. Максимальна похибка цієї формули становить близько 0,3619 % при ексцентриситеті еліпса близько 0,979811 (відношення осей ~1/5). Похибка завжди додатна.

Дуже наближена формула: $L = \pi \cdot \left( a + b \right)$

Дотична

Рівняння дотичної до еліпса через точку $\left. M_0 \right.$, яка належить еліпсу

$\frac{x x_0}{a^2} + \frac{y y_0}{b^2} = 1$

Див. також

• Еліпсограф
• Коло
• Гіпербола (математика)
• Парабола
• Еліпс похибок