Еліпс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Еліпс в геометрії — лінія другого порядку.

Термін походить від грец. ἔλλειψις — нестача, пропуск, випадіння (мається на увазі «неповнота» або «дефектність» еліпсу порівняно з «повним» колом або кругом).

Зміст 1 Аналітичне визначення 2 Визначальна властивість еліпса 3 Геометричне визначення 4 Елементи еліпса 4.1 Вершини еліпса 4.2 Осі еліпса 4.3 Директриса та ексцентриситет 5 Різні види рівнянь еліпса 5.1 Канонічне рівняння еліпса: 5.2 Параметричне рівняння еліпса: 5.3 Нормальне рівняння еліпса 6 Дотична 7 Дивіться також

[ред.] Аналітичне визначення

Еліпсом називають лінію, яка в деякій декартовій прямокутній системі координат задається рівнянням:

Еліпс належить до кривих другого порядку.

[ред.] Визначальна властивість еліпса

Точки і називають фокусами еліпса, а відстань між ними — фокусною відстанню, її позначають через , отже, . Суму відстаней від будь-якої точки еліпса до фокусів і позначимо . Тоді за означенням маємо: . Звідси можна сказати, що еліпс складається з таких і тільки таких точок , які задовольняють умові:

[ред.] Геометричне визначення

Еліпсом називається множина всіх точок площини, для кожної з яких сума відстаней до двох даних точок і цієї площини є величина стала, більша за відстань між і .

[ред.] Елементи еліпса

[ред.] Вершини еліпса

Точки перетину еліпсу з осями прямокутної системи координат, вибраної так щоб початок координат був серединою відрізка , а вісь збігалася з прямою , називають вершинами еліпсу.

[ред.] Осі еліпса

Відрізок , що проходить через обидва фокуси і , називають великою віссю еліпса, а перпендикулярний йому відрізок , що перетинається з великою віссю в центрі еліпса – відповідно його малою віссю. Довжина цих відрізків відповідає умові . Еліпс симетричний відносно своїх осей та центру.

[ред.] Директриса та ексцентриситет

Число це ексцентриситет еліпса, величина, що характеризує його витягнутість; для еліпсу . Прямі, рівняння яких називаються директрисами еліпса; співвідношення відстані від будь-якої точки еліпса до найближчого фокусу до відстані до найближчої директриси стале і дорівнює ексцентриситету.

Зауважимо, що величинами, які характеризують еліпс, є велика і мала півосі і , відстань фокуса від центру, ексцентриситет . Залежність між ними виражається формулами: . Тому, щоб скласти рівняння еліпса, досить знати або півосі і , або одну піввісь і ексцентриситет і т.д.

Якщо точки і збігаються, то еліпс стає колом радіуса . При цьому . Отже, коло є окремим випадком еліпса.

[ред.] Різні види рівнянь еліпса

[ред.] Канонічне рівняння еліпса:

[ред.] Параметричне рівняння еліпса:

[ред.] Нормальне рівняння еліпса

[ред.] Дотична

Рівняння дотичної до еліпса через точку , яка належить еліпсу

[ред.] Дивіться також

• Коло
• Гіпербола
• Парабола