Конус

Конус
Досліджується в	стереометрія
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика
Конус у Вікісховищі

Прямий і похилий конуси

Зрізаний круговий конус

Ко́нус (лат. conus від дав.-гр. κώνος — «шпичак шолома», «шишка») заст. кружі́ль— геометричне тіло, отримане шляхом об'єднання всіх променів, що виходять з однієї точки — вершини конуса, і таких що проходять через довільну плоску криву. Іноді конусом називають частину такого тіла, отриману об'єднанням усіх відрізків, що з'єднують вершину і точки пласкої поверхні (яку в такому випадку називають основою конуса, а конус називають таким, що спирається на дану поверхню). Надалі буде розглядатися саме цей випадок, якщо не сказано про інше.

За ДСТУ: конус — узагальнений термін, під яким залежно від конкретних умов розуміють конічну поверхню, конічну деталь чи конічний елемент.

Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також його довжина), називається висотою конуса. Якщо площа основи має скінченне значення, то об'єм конуса також має скінченне значення і дорівнює третині добутку висоти на площу основи. Таким чином всі конуси, що спираються на дану основу, і мають вершину в площині, паралельній цій основі, мають рівний об'єм, оскільки їх висоти рівні. Якщо основою конуса є многокутник, тоді конус стає пірамідою. Таким чином піраміди є підмножиною конусів.

Відрізок, що сполучає вершину конуса з точкою границі його основи називається твірною конуса. Множина всіх твірних конуса називається бічною поверхнею конуса.

Якщо основа конуса має центр симетрії (наприклад, є еліпсом) і ортогональна проєкція вершини конуса на його основу збігається з цим центром, то конус називається прямим. При цьому пряма, що сполучає вершину конуса з центром його основи називається віссю конуса. Якщо ж ортогональна проєкція вершини не збігається з центром основи, то такий конус називається косим.

Означення кругового конуса

У курсі шкільної геометрії розглядають конус (точніше, прямий круговий конус [Архівовано 15 грудня 2019 у Wayback Machine.]). Конусом (точніше, круговим конусом) називається тіло, яке складається із круга — основи конуса, точки, що не лежить в площині цього круга, — вершини конуса і всіх відрізків, які з'єднують вершину конуса з точками основи.

Конус обертання

Прямий круговий конус (часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного трикутника навколо одного з катетів, який таким чином стане віссю конуса. Конус обертання в прямокутній системі координат описується системою нерівностей:

$\left\{{{x^{2}+y^{2}\leq \left({\frac {zr}{h}}\right)^{2}} \atop {0\leq z\leq h}}\right.$

де $r>0,\ h>0$

З усіх конусів тільки прямий круговий є тілом обертання.

Перетин площини з прямим круговим конусом є одним з конічних перерізів (в невироджених випадках — еліпсом, параболою чи гіперболою, в залежності від розміщення січної площини).

Частина конуса, що лежить між основою і площиною, паралельною до основи і знаходиться між вершиною і основою, називається зрізаним конусом.

Конус, що спирається на еліпс, гіперболу чи параболу називається відповідно еліптичним, гіперболічним чи параболічним конусом (останні два мають нескінченний об'єм).

Площа поверхні конуса

Прямий круговий конус

Повна площа прямого кругового конуса

$S=\pi rl+\pi r^{2}$ ,

де r та l — радіус кола основи та довжина твірної бічної поверхні відповідно.

Площа бічної поверхні прямого кругового конуса

$S_{b}=\pi rl$,

де r та l — радіус кола основи та довжина твірної бічної поверхні відповідно.

Об'єм конуса

У загальному випадку:

$V={\frac {1}{3}}Sh$,

де S — площа основи, h — висота конуса.

Об'єм кругового конуса, відповідно:

$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}h$,

Формулу об'єму конуса легко отримати із використанням інтегрального числення. Ми знаємо, що об'єм твердого тіла дорівнює інтегралу площі його перерізу вздовж певної осі. Отже, з точністю до сталої, це інтеграл $\int x^{2}dx={\tfrac {1}{3}}x^{3}.$

Кут конуса

Цей термін означає кут $\alpha$ при вершині в осьовому перерізі конуса.

$\alpha =2\operatorname {arctg} {\frac {r}{h}}$

Вписані та описані тіла

Конус, описаний навколо піраміди

Конус можна описати навколо піраміди, якщо її основа — многокутник, навколо якого можна описати коло, а вершина піраміди проєктується в центр цього кола. Радіус конуса дорівнює радіусу цього кола; висоти конуса і піраміди збігаються.

Конус, вписаний у піраміду

Конус можна вписати в піраміду, якщо її основа — многокутник, у який можна вписати коло, а вершина піраміди проєктується в центр цього кола. Радіус конуса дорівнює радіусу цього кола; висота конуса і піраміди збігаються.

Куля, описана навколо конуса

Куля, описана навколо конуса

Кулю можна описати навколо довільного конуса. Коло основи конуса і вершина конуса лежать на поверхні кулі. Центр кулі лежить на осі конуса і збігається з центром кола, описаного навколо трикутника, який є осьовим перерізом конуса. Переріз площиною, що проходить через вісь конуса (осьовий переріз). Об'єм кулі, описаної навколо прямого кругового конуса:

$V_{k}={1 \over 6}\pi {\frac {l^{6}}{(l^{2}-r^{2}){\sqrt {l^{2}-r^{2}}}}}$, де $l$ — твірна конуса; $r$ — радіус основи конуса.

Радіус кулі R, радіус основи конуса r і висота конуса H пов'язані співвідношенням:

Куля, вписана в конус

$R^{2}={\bigl (}H-R{\bigr )}^{2}+r^{2}$

Це співвідношення справедливе зокрема для випадку, коли $H\leq R$.

Куля, вписана в конус

Кулю можна вписати в довільний конус. Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу, що лежить в площині, яка паралельна основі конуса. Центр кулі лежить на осі конуса і збігається з центром кола, вписаного в трикутник, що є осьовим перерізом конуса. Радіус кулі R, радіус основи конуса r і висота конуса H пов'язані співвідношенням: ${\frac {R}{H-R}}={\frac {r}{\sqrt {H^{2}+r^{2}}}}$

Земляний конус

Форму конусів мають насипані на горизонтальній поверхні купи піску, зерна, вугілля, породи, щебеню тощо. Кожному такому матеріалу відповідає кут природного укосу - кут нахилу твірної до площини основи конуса. Для піску він дорівнює приблизно 30°, для вугілля — 42°, для породи — 46°.

Див. також

• Конічна поверхня
• Зрізаний конус
• Конічні перетини
• Інструментальний конус
• Конусність
• Блазенський ковпак

Джерела

• Геометрія. 10-11 класи [Текст]: пробний підручник / Афанасьєва О. М. [та ін.]. — Тернопіль: Навчальна книга- Богдан, 2003. — 264 с. — ISBN 966-692-161-8
• Геометрія. 11 клас [Текст]: підручник для загальноосвітніх навчальних закладів: академічний рівень, профіл.рівень / Бевз Г. П. [та ін.]. — Київ: Генеза, 2011. — 336 с.
• Геометрія: Стереометрія: 10-11 класи [Текст]: підручник / Погорєлов О. В.  — Київ: Освіта, 2001. — 128 с.
• Наочний довідник з геометрії [Текст] / Генденштейн Л. Е., Єршова А. П.  — Харків — Тернопіль: Гімназія — Підручники і посібники, 1997. — 96 с.