Майже багатокутник

Щільний майже багатокутник із діаметром d = 2

Майже багатокутник — це геометрія інцидентності, запропонована Ернестом Е. Шультом і Артуром Янушкою 1980 року. Шульт і Янушка показали зв'язок між так званими тетраедрично замкнутими системами прямих в евклідових просторах і класом геометрій точка/пряма, які вони назвали майже багатокутниками. Ці структури узагальнюють нотацію узагальнених багатокутників, оскільки будь-який узагальнений 2n-кутник є майже 2n-кутником певного виду. Майже багатокутники інтенсивно вивчалися, а зв'язок між ними і подвійними полярними просторами показано в 1980-х роках і початку 1990-х. Деякі спорадичні прості групи, наприклад, група Холла — Янко і групи Матьє, діють як групи автоморфізмів на майже багатокутниках.

Визначення

Майже $2d$-кутники — це структура інцидентності ($P,L,I$), де $P$ — множина точок, $L$ — множина прямих, а $I\subseteq P\times L$ — відношення інцидентності, таке, що:

• Найбільша відстань між двома точками (так званий діаметр) дорівнює d.
• Для будь-якої точки $x$ і будь-якої прямої $L$ існує єдина точка на $L$, найближча до $x$.

Зауважимо, що відстань вимірюється в термінах колінеарного графу точок, тобто графу, утвореного з точок як вершин, і пара вершин з'єднана ребром, якщо вони інцидентні одній прямій. Ми можемо також дати альтернативне визначення в термінах теорії графів. Майже $2d$-кутник — це зв'язний граф скінченного діаметра d з властивістю, що для будь-якої вершини x і будь-якої максимальної кліки M існує єдина вершина x у M, найближча до x. Максимальна кліка такого графа відповідає прямим у визначенні структури інцидентності. Майже 0-кутник (d = 0) — це єдина точка, тоді як майже 2-кутник (d = 1) — це просто одна пряма, тобто повний граф. Майже квадрат (d = 2) — це те саме, що й (можливо, вироджений) узагальнений чотирикутник. Можна показати, що будь-який узагальнений 2d-кутник є майже $2d$-кутником, що задовольняє двом додатковим умовам:

• Будь-яка точка інцидентна щонайменше двом прямим.
• Для будь-яких двох точок x, y на відстані i < d існує єдина сусідня точка для y на відстані i − 1 від x.

Майже багатокутник називають щільним, якщо будь-яка пряма інцидентна щонайменше трьом точкам і якщо дві точки на відстані два мають щонайменше дві спільні сусідні точки. Кажуть, що багатокутник має порядок (s, t), якщо будь-яка пряма інцидентна рівно s + 1 точці і будь-яка точка інцидентна рівно t + 1 прямій. Щільні майже багатокутники мають багату теорію і деякі їх класи (такі як тонкі щільні майже багатокутники) повністю класифіковано.

Підпростір X простору P називають опуклим, якщо будь-яка точка на найкоротшому шляху між двома точками з X також міститься в X.

Приклади

• Всі зв'язні двочасткові графи є майже багатокутниками. Фактично, будь-який майже багатокутник, що має рівно дві точки на пряму, повинен бути зв'язним двочастковим графом.
• Всі скінченні узагальнені багатокутники, за винятком проєктивних площин.
• Всі двоїсті полярні простори.
• Майже восьмикутник Холла — Янко, відомий також як майже восьмикутник Коена — Тітса, пов'язаний з групою Холла — Янко. Його можна побудувати, вибравши клас спряженості 315 центральних інволюцій групи Холла — Янко як точки і триелементні підмножини {x, y, xy} як прямі, якщо x і y комутують.
• Майже багатокутник M₂₄, пов'язаний із групою Матьє M₂₄ і розширеним двійковим кодом Голея. Восьмикутник будується з 759 октад (блоків) схеми Вітта S(5, 8, 24), що відповідають кодам Голея, як точок і трійок трьох попарно не перетинних вісімок як прямих.
• Візьмемо розбиття множини {1, 2,…, 2n + 2} на n + 1 підмножину з 2 елементів як точки, і розбиття на n − 1 підмножину з двох елементів і одну підмножину з 4 елементів як прямі. Точка інцидентна прямій тоді й лише тоді, коли вона (як розбиття) є уточненням прямої. Це дає нам 2n-кутник з трьома точками на кожній прямій, який зазвичай позначаються як H_n. Повна група автоморфізмів цього майже багатокутника — S_2n+2.

Правильні майже багатокутники

Скінченний майже $2d$-кутник S називають правильним, якщо він має порядок $(s,t)$ і якщо існують константи $t_{i},i\in \{1,\ldots ,d\}$, такі, що для будь-яких двох точок $x$ і $y$ на відстані $i$ існує рівно $t_{i}+1$ прямих, що проходять через $y$ і містять (обов'язково єдину) точку на відстані $i-1$ від $x$. Виявляється, що правильні майже $2d$- кутники — це точно ті майже $2d$-кутники, точкові графи яких є дистанційно-регулярними графами. Узагальнений $2d$-кутник порядку $(s,t)$ — це правильний майже $2d$-кутник з параметрами $t_{1}=0,t_{2}=0,\ldots ,t_{d}=t$.

Див. також

• Скінченна геометрія
• Полярний простір
• Частково лінійний простір
• Схема відношення
• Граф Голла — Янко

Література

• Brouwer A.E., Cohen A. M., Wilbrink H. A., Hall J. J. Near polygons and Fischer spaces // Geom. Dedicata. — 1994. — Т. 49, вип. 3 (30 квітня). — С. 349–368. — DOI:10.1007/BF01264034.
• Brouwer A.E., Cohen A.M. Distance Regular Graphs. — Berlin, New York: Springer-Verlag, 1989. — ISBN 3-540-50619-5.
• Cameron Peter J. Dual polar spaces // Geom. Dedicata. — 1982. — Т. 12 (30 квітня). — С. 75–85. — DOI:10.1007/bf00147332.
• Cameron Peter J. Projective and polar spaces. — London : Queen Mary and Westfield College School of Mathematical Sciences, 1991. — Т. 13. — (QMW Maths Notes) Архівовано з джерела 6 липня 2020
• De Bruyn Bart. Near Polygons. — Birkhäuser Verlag, 2006. — 30 квітня. — ISBN 3-7643-7552-3. — DOI:10.1007/978-3-7643-7553-9.
• De Clerck F., Van Maldeghem H. Some classes of rank 2 geometries // Handbook of Incidence Geometry. — Amsterdam : North-Holland, 1995. — С. 433–475.
• Shult Ernest E. Points and Lines. — Springer, 2011. — (Universitext) — ISBN 978-3-642-15626-7. — DOI:10.1007/978-3-642-15627-4.
• Shult Ernest, Yanushka Arthur. Near n-gons and line systems // Geom. Dedicata. — 1980. — Т. 9 (30 квітня). — С. 1–72. — DOI:10.1007/BF00156473.
• De Bruyn Bart. Isometric embeddings of the near polygons H_n and G_n into dualpolarspaces / Douglas B. West // Discrete Mathematics. — 2013. — Вип. 313 (30 квітня). — С. 1313-1321. — ISSN 0012-365X.