Узагальнений чотирикутник

«Серветка» $GQ(2,2)$

Узагальнений чотирикутник — це структура інцидентності, головна властивість якої — відсутність трикутників (однак структура містить багато чотирикутників). Узагальнений чотирикутник є за визначенням полярним простором рангу два. Узагальнені чотирикутники є узагальненими многокутниками з n = 4 і майже 2n-кутниками з n = 2. Вони є також точно частковими геометріями pg(s,t, α) з α = 1.

Визначення

Узагальнений чотирикутник — це структура інцидентності (P,B, I), де $\mathrm {I} \subseteq P\times B$ — відношення інцидентності, що задовольняє певним аксіомам. Елементи P за визначенням є вершинами (точками) узагальненого чотирикутника, елементи B — прямими. Аксіоми такі:

• Існує число s (s ≥ 1), таке, що на будь-якій прямій є рівно s+1 точка. Існує максимум одна точка на двох різних прямих.
• Існує число t (t ≥ 1), таке, що через будь-яку точку проходить рівно t + 1 пряма. Існує максимум одна пряма через дві різні точки.
• Для будь-якої точки p, що не лежить на прямій L, існує єдина пряма M і єдина точка q, такі, що p лежить на M, а q лежить на M і L.

Пара чисел $(s,t)$ є параметрами узагальненого чотирикутника. Параметри можуть бути нескінченними. Якщо або число s, або t дорівнює одиниці, узагальнений чотирикутник називається тривіальним. Наприклад, ґратка 3x3 з P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} і B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} є тривіальним узагальненим чотирикутником з s = 2 і t = 1. Узагальнений чотирикутник з параметрами $(s,t)$ часто позначають як $GQ(s,t)$ (від англ. Generalized Quadrangle).

Найменший нетривіальний узагальнений чотирикутник — $GQ(2,2)$, подання якого 1973 року Стен Пейн назвав «серветкою».

Властивості

• $|P|=(st+1)(s+1)$
• $|B|=(st+1)(t+1)$
• $(s+t)|st(s+1)(t+1)$
• $s\neq 1\Longrightarrow t\leq s^{2}$
• $t\neq 1\Longrightarrow s\leq t^{2}$

Графи

Реберний граф узагальненого чотирикутника $GQ(2,4)$

Є два цікавих графи, які можна отримати з узагальненого чотирикутника.

• Граф колінеарності, що містить усі точки узагальненого чотирикутника як вершини, в якому колінеарні точки з'єднані ребром. Цей граф є сильно регулярним графом з параметрами $((s+1)(st+1),s(t+1),s-1,t+1)$, де $(s,t)$ — порядок чотирикутника.
• Граф інцидентності, вершинами якого є всі точки і прямі узагальненого чотирикутника і дві вершини суміжні, якщо одна вершина відповідає прямій, а інша — точці на цій прямій. Граф інцидентності узагальненого чотирикутника зв'язний і є двочастковим графом з діаметр чотири і обхват вісім. Таким чином, узагальнений чотирикутник є прикладом клітина. Графи інцидентності конфігурацій в даний час називають графами Леві, однак вихідний граф Леві був графом інцидентності узагальненого чотирикутника $GQ(2,2)$.

Двоїстість

Якщо (P,B, I) — узагальнений чотирикутник із параметрами (s,t), тоді (B,P,I⁻¹) також є узагальненим чотирикутником (тут I⁻¹ означає обернене відношення інцидентності). Цей чотирикутник називають двоїстим узагальненим чотирикутником. Його параметрами буде пара (t,s). Навіть при s = t двоїста структура не обов'язково ізоморфна початковій структурі.

Узагальнені чотирикутники з розміром прямих 3

Існує рівно п'ять (допускається виродження) узагальнених чотирикутників, у яких кожна пряма має три інцидентні їй точки:

1. чотирикутник з порожньою множиною прямих
2. чотирикутник, у якому всі прямі проходять через фіксовану точку, що відповідає вітряку Wd(3,n)
3. ґратка розміром 3x3
4. чотирикутник $W(2)$
5. узагальнений чотирикутник $GQ(2,4)$

Ці п'ять чотирикутників відповідають п'яти системам коренів у ADE класах A_n, D_n, E₆, E₇ і E₈, тобто однонитковим системам коренів (це означає, що в діаграмах Динкіна елементи не мають кратних зв'язків).

Класичні узагальнені чотирикутники

Якщо розглядати різні види полярних просторів рангу щонайменше три і екстраполювати їх на ранг 2, можна виявити ці (скінченні) узагальнені чотирикутники:

• Гіперболічна поверхня другого порядку (квадрика) $Q^{+}(3,q)$, параболічна квадрика $Q(4,q)$ і еліптична квадрика $Q^{-}(5,q)$ є єдиними можливими квадриками в проєктивних просторах над скінченними полями з проєктивним індексом 1. Параметри цих квадрик:

$Q(3,q):\ s=q,t=1$ (це просто ґратка)

$Q(4,q):\ s=q,t=q$

$Q(5,q):\ s=q,t=q^{2}$

• Ермітів многовид $H(n,q^{2})$ має проєктивний індекс 1 тоді і тільки тоді, коли N дорівнює 3 або 4. Ми маємо:

$H(3,q^{2}):\ s=q^{2},t=q$

$H(4,q^{2}):\ s=q^{2},t=q^{3}$

• Симплектична полярність в $PG(2d+1,q)$ має максимальний ізотропний підпростір розмірності 1 тоді й лише тоді, коли $d=1$. Тут ми маємо узагальнений чотирикутник $W(3,q)$, з параметрами $s=q,t=q$.

Узагальнений чотирикутник, похідний від $Q(4,q)$ завжди ізоморфний двоїстій структурі до $W(3,q)$, обидві структури самодвоїсті, а тому ізоморфні одна одній тоді й лише тоді, коли $q$ парне.

Некласичні приклади

• Нехай O — гіперовал в $PG(2,q)$ з q, рівним парному степеню простого числа, і вкладення цієї проєктивної (дезаргової) площині $\pi$ в $PG(3,q)$. Тепер розглянемо структуру інцидентності $T_{2}^{*}(O)$, в якій усі точки є точками, що не лежать на $\pi$. Прямі цієї структури — це точки, що не лежать на $\pi$ і перетинають $\pi$ в точці O, а інцидентність визначається природним чином. Це (q-1,q+1)-узагальнений чотирикутник.
• Нехай q — степінь простого числа (непарний або парний). Розглянемо симплектичну полярність $\theta$ в $PG(3,q)$. Виберемо випадкову точку p і визначимо $\pi =p^{\theta }$. Нехай прямими нашої структури інцидентності будуть усі абсолютні прямі, що не лежать на $\pi$, разом з усіма прямими, що проходять через точку p, але не лежать на $\pi$, а точками — всі точки $PG(3,q)$, що не лежать на $\pi$. Відношенням інцидентності буде природна інцидентність. Ми отримали знову (q—1,q+1)-узагальнений чотирикутник.

Обмеження на параметри

Для ґраток і двоїстих ґраток для будь-якого цілого числа z, z ≥ 1 є узагальнені чотирикутники з параметрами (1,z) і (z,1). Крім цього випадку, виявляються допустимими лише такі параметри (тут q — довільний степінь простого числа):

$(q,q)$

$(q,q^{2})$ і $(q^{2},q)$

$(q^{2},q^{3})$ і $(q^{3},q^{2})$

$(q-1,q+1)$ і $(q+1,q-1)$

Література

• Payne S. E., Thas J. A. Finite generalized quadrangles. — Boston, MA : Pitman (Advanced Publishing Program), 1984. — Т. 110. — С. vi+312. — (Research Notes in Mathematics) — ISBN 0-273-08655-3.
  • Payne S. E., Thas J. A. Finite generalized quadrangles. — European Mathematical Society, 2009. — (EMS Series of Lectures in Mathematics) — ISBN 978-3-03719-066-1.

• Cameron P.J., Goethals J.M., Seidel J.J, Shult E. E. Line graphs, root systems and elliptic geometry // Journal of Algebra. — Academic Press, 1976. — Т. 43, вип. 1 (24 квітня).
• Brouwer A.E. Algebra and Geometry (PDF). {{cite web}}: Проігноровано невідомий параметр |description= (довідка)