Ортоцентричний трикутник

Ортотрикутник (ортоцентричний трикутник) — це трикутник Δabc, вершини якого є основами висот трикутника ∆ABC. Для ортотрикутника (для ортоцентричного трикутника) Δabc сам трикутник ∆ABC є трикутником трьох зовнішніх бісектрис. Тобто відрізки AB, BC і CA є трьома зовнішніми бісектрисами трикутника Δabc.

Властивості

• Задача Фаньяно. Ортоцентричний трикутник гострокутного трикутника АВС володіє найменшим периметром з усіх вписаних трикутників.
• Висоти гострокутного трикутника є бісектрисами кутів його ортотрикутника (отже, ортоцентр гострого трикутника є центром кола, вписаного в його ортотрикутник).
• Якщо точки A₁, B₁ і C₁ на сторонах відповідно BC, AC і AB гострокутного трикутника ABC такі, що

$\angle BA_{1}C_{1}=\angle CA_{1}B_{1}$, $\angle CB_{1}A_{1}=\angle AB_{1}C_{1}$ і $\angle AC_{1}B_{1}=\angle BC_{1}A_{1}$,

то $A_{1}B_{1}C_{1}$ — ортотрикутник трикутника ABC.

• Якщо навколо даного гострокутного трикутника описати коло і в трьох вершинах трикутника провести прямі, дотичні до кола, то перетин цих прямих утворює трикутник, який називається тангенціальним трикутником відносно цього трикутника.

Властивості подібності родинних трикутників

• Вихідний трикутник $\Delta ABC$ по відношенню до ортотрикутника є трикутником трьох зовнішніх бісектрис.
• Ортотрикутник і тангенціальний трикутник подібні (Зетель, наслідок 1, §66, с. 81).
• Трикутник Жергонна ортотрикутника і вихідний трикутник подібні.
• Трикутник трьох зовнішніх бісектрис трикутника трьох зовнішніх бісектрис і вихідний трикутник подібні.
• Ортотрикутник трикутника Жергонна і вихідний трикутник подібні.
• Вище зазначені властивості подібності родинних трикутників є наслідком нижче перерахованих властивостей паралельності (антипаралельності) сторін родинних трикутників.

Властивості паралельності (антипаралельності) сторін родинних трикутників

• Сторони даного гострокутного трикутника антипаралельні відповідним сторонам ортотрикутника, проти яких вони лежать.
• Сторони тангенціального трикутника антипаралельні відповідним протилежним сторонам даного трикутника (по властивості антипаралельності дотичних до кола).
• Сторони тангенціального трикутника паралельні відповідним сторонам ортотрикутника.
• Якщо точки дотику вписаного в даний трикутник кола з'єднані відрізками, то вийде трикутник Жергонна. Нехай в отриманому трикутнику проведено висоти. Тоді прямі, що з'єднують підстави цих висот, паралельні сторонам вихідного трикутника. Отже, ортотрикутник трикутника Жергонна і вихідний трикутник подібні.

Інші властивості

• Площа ортотрикутника дорівнює:

$S_{ort}={\frac {S}{(2abc)^{2}}}(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+c^{2}-b^{2})(b^{2}+c^{2}-a^{2})$

де $S$ — площа трикутника ΔABC; $a,b,c$ - його відповідні сторони.

• Коло, описане навколо ортотрикутника Δabc, для самого трикутника ΔABC є окружністю Ейлера (окружністю 9 точок), тобто одночасно проходить через 3 підстави медіан останнього. Зауважимо, що ці 3 підстави медіан є вершинами додаткового трикутника для трикутника ΔABC.
• Радіуси кола, описаного навколо даного трикутника ΔABC, проведені через його вершини, перпендикулярні відповідним сторонам ортотрикутника Δabc (Зетель, наслідок 2, §66, с. 81).