Вписане коло

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Трикутник (чорний) з вписаним колом (синє), зовнішніми вписаними колами (помаранчеві), бісектрисами внутрішніх (червоні) та зовнішніх (зелені) кутів.

Вписане коло трикутника — це найбільше коло, розташоване в трикутнику, яке дотичне до трьох його сторін. Центр вписаного в трикутник кола називають інцентром. Інцентром також називають точку перетину бісектрис трикутника. Традиційно позначають латинською літерою I.

Зовнішнє вписане коло (також зовнівписане) трикутника — це коло, яке лежить за межами трикутника дотичне до одної з сторін трикутника і також дотичне до продовження інших двох сторін. Кожен трикутник має три зовнішні вписані кола, кожне з яких дотичне до одної з сторін трикутника. Центр зовнішньо вписаного кола традиційно позначають латинською літерою J з індексом - назвою відповідної вершини трикутника, наприклад, J_A.

Центр вписаного кола можна знайти, як точку перетину трьох бісектрис внутрішніх кутів. Центр зовнівписаного кола можна знайти, як точку перетину бісектриси внутрішнього кута і двох бісектрис зовнішніх кутів. З цього випливає, що центр вписаного кола разом з трьома центрами зовнішніх вписаних кіл утворюють ортоцентричну систему.

Властивості центра[ред.ред. код]

  • Інцентр лежить на однаковій відстані від усіх сторін трикутника.
  • Інцентр ділить бісектрису кута A у відношенні \frac{b+c}{a}, де a, b, c - сторони трикутника.
  • Теорема про трилисник (або лема про тризубець). Якщо продовження бісектриси кута А перетинає описане навколо трикутника ABC коло в точці W, то справедлива рівність: WB=WC=WI=WD, де D - центр зовнішього вписаного кола, що дотикається до сторони BC.
  • Формула Ейлера. Квадрат відстані між інцентром I і центром описаного кола O дорівнює OI^2=R^2-2Rr, де R і r - радіуси відповідно описаного та вписаного кіл.

Дивіться також[ред.ред. код]