Вписане коло

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Трикутник (чорний) з вписаним колом (синє), зовнішніми вписаними колами (помаранчеві), бісектрисами внутрішніх (червоні) та зовнішніх (зелені) кутів.

Вписане коло трикутника — це найбільше коло, розташоване в трикутнику, яке дотичне до трьох його сторін. Центр вписаного в трикутник кола називають інцентром. Інцентром також називають точку перетину бісектрис трикутника. Традиційно позначають латинською літерою I.

Зовнішнє вписане коло (також зовнівписане) трикутника — це коло, яке лежить за межами трикутника дотичне до одної з сторін трикутника і також дотичне до продовження інших двох сторін. Кожен трикутник має три зовнішні вписані кола, кожне з яких дотичне до одної з сторін трикутника. Центр зовнішньо вписаного кола традиційно позначають латинською літерою J з індексом — назвою відповідної вершини трикутника, наприклад, J_A.

Центр вписаного кола можна знайти, як точку перетину трьох бісектрис внутрішніх кутів. Центр зовнівписаного кола можна знайти, як точку перетину бісектриси внутрішнього кута і двох бісектрис зовнішніх кутів. З цього випливає, що центр вписаного кола разом з трьома центрами зовнішніх вписаних кіл утворюють ортоцентричну систему.

Властивості інцентру[ред.ред. код]

  • Інцентр лежить на однаковій відстані від усіх сторін трикутника.
  • Інцентр ділить бісектрису кута A у відношенні \frac{b+c}{a}, де a, b, c — сторони трикутника.
  • Теорема про трилисник (або лема про тризубець). Якщо продовження бісектриси кута А перетинає описане навколо трикутника ABC коло в точці W, то справедлива рівність: WB=WC=WI=WO, де O — центр зовнішнього вписаного кола, що дотикається до сторони BC.
  • Формула Ейлера. Квадрат відстані між інцентром I і центром описаного кола O дорівнює OI^2=R^2-2Rr, де R і r — радіуси відповідно описаного та вписаного кіл.

Властивості вписаного кола[ред.ред. код]

  • У кожен трикутник можна вписати коло, притому тільки одне.
  • Центр I вписаного кола називається інцентром, він рівновіддалений від усіх сторін і є точкою перетину бисектрис трикутника.
  • Радіус вписаного в трикутник кола дорівнює
r=\frac{S}{p}=\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}
де S — площа трикутника, а p — півпериметр.
  • Якщо AB — основа рівнобедреного  \triangle ABC , то коло, дотичне до сторін кута  \angle ACB в точках A і B, проходить через інцентр трикутника ABC.
  • Якщо пряма, що проходить через точку I паралельно стороні AB, перетинає сторони BC і CA в точках A1 і B1, то A_1B_1=A_1B+AB_1.
  • Точки дотику вписаного в трикутник T кола з'єднані відрізками утворюють трикутник T1.
  • Радіус вписаного в прямокутний трикутник з катетами a, b і гіпотенузою c кола дорівнює \frac{a+b-c}{2}.
  • Відстань від вершини С трикутника до точки, в якій вписане коло дотикається сторони, дорівнює d=\frac{a+b-c}{2}=p-c.
  • Відстань від вершини C до центру вписаного кола дорівнює l_c=\frac{r}{\sin(\frac{\gamma}{2})}, де r — радіус вписаного кола, а γ — кут вершини C.
  • Відстань від вершини C до центру вписаного кола може також бути знайдено за формулами l_c = \sqrt{(p-c)^2 + r^2} и l_c = \sqrt{ab - 4Rr}
  • Лема Верр'єра[1]: нехай коло  V дотичне до сторін  AB ,  AC і дуги  BC описаного кола трикутника  ABC . Тоді точки дотику кола  V зі сторонами і центр вписаного кола трикутника  ABC лежать на одній прямій.

Примітки[ред.ред. код]

  1. Єфремов Д. Нова геометрія трикутника. — Одеса, 1902. — С. 130.

Див. також[ред.ред. код]