Перша теорема Вейєрштрасса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Перша теорема Вейєрштрасса доводить обмеженість неперервної функції на замкненому проміжку.

Маршал Стоун значно узагальнив теорему у 1937 році та спростив доказ у 1948 році. Цей результат відомий тепер як теорема Стоуна-Вейєрштрасса.

Формулювання теореми[ред.ред. код]

Якщо функція \!f(x) неперервна на проміжку \![a, b], то вона обмежена на цьому проміжку.

Доведення[ред.ред. код]

Доведемо, що функція \!f(x) обмежена зверху на проміжку \![a, b] (обмеженість знизу доводиться аналогічно).

Припустимо супротивне, тобто припустимо, що \!f(x) не є обмеженою на проміжку \![a, b].

Тоді для будь-якого натурального числа \!n (\!n=1,2,...) знайдеться хоча б одна точка \!x_n з проміжка \![a, b] така, що \!f(x_n)>n (інакше \!f(x) була б обмежена зверху на проміжку \![a, b]).

Таким чином, існує послідовність значень \!x_n з проміжка \![a, b] така, що відповідна їй послідовність значень функції \!{f(x_n)} є нескінченно великою. В силу теореми Больцано-Вейєрштрасса, з послідовності \!{x_n} можна виділити підпослідовність, яка збігається до точки \!c, що належить \![a, b]. Позначимо цю послідовність симовлом \!{x_k}, \!(k_n) (\!n=1,2,...). В силу неперервності функції \!f(x) у точці \!c відповідна підпослідовність значень функції \!{f(x_k)} повинна збігатися до \!{f(c)}. Але це неможливо, оскільки підпослідовність \!{f(x_k)}, яку виділено з послідовності \!{f(x_n)}, сама є нескінченно великою. Отже, наше припущення про необмеженість хибне.

Теорему доведено.

Зауваження[ред.ред. код]

Для інтервалу (чи півпроміжка) твердження, аналогічне першій теоремі Вейєрштрасса, вже хибне, тобто з неперервності функції на інтервалі (півпроміжку) вже не випливає обмеженість цієї функції на вказаній множині.

Наприклад, розглянемо функцію \!f(x)=1/x на інтервалі \!(0,1). Ця функція на вказаному інтервалі неперервна, але необмежена, оскільки існує послідовність точок \!x_n=\!1/n (\!n=2,3,...), які належать вказаному інтервалу, така, що відповідна послідовність значень функції \!{f(x_n)}=\!{n} є нескінченно великою.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, Часть 1 — М.: Наука, 1982. — 616 с., ил.