Перша теорема Веєрштрасса

Перша теорема Веєрштрасса доводить обмеженість неперервної функції на відрізку (замкненому проміжку).

У деяких підручниках цю теорему об'єднують із другою теоремою Веєрштрасса в одну «теорему Веєрштрасса».

Формулювання теореми

Якщо функція $f(x)$ неперервна на відрізку $[a,b]$, то вона обмежена на цьому проміжку.

Доведення

Доведемо, що функція $f(x)$ обмежена зверху на проміжку $[a,b]$ (обмеженість знизу доводиться аналогічно).

Припустимо протилежне, тобто, що $f(x)$ не є обмеженою на проміжку $[a,b]$.

Тоді для будь-якого натурального числа $n$ $(n=1,2,...)$ знайдеться хоча б одна точка $x_{n}$ з проміжку $[a,b]$ така, що $f(x_{n})>n$ (інакше $f(x)$ була б обмежена зверху на проміжку $[a,b]$).

Таким чином, існує послідовність значень $x_{n}$ з проміжку $[a,b]$ така, що відповідна їй послідовність значень функції ${f(x_{n})}$ є нескінченно великою. Внаслідок теореми Больцано — Веєрштрасса, з послідовності ${x_{n}}$ можна виділити підпослідовність, яка збігається до точки $c$, що належить $[a,b]$. Позначимо цю послідовність символом ${x_{k}}$, $(k_{n})$ $(n=1,2,...)$. Внаслідок неперервності функції $f(x)$ у точці $c$ відповідна підпослідовність значень функції ${f(x_{k})}$ має збігатися до ${f(c)}$. Але це неможливо, оскільки підпослідовність ${f(x_{k})}$, яку виділено з послідовності ${f(x_{n})}$, сама є нескінченно великою. Отже, наше припущення про необмеженість хибне.

Теорему доведено.

Зауваження

Для інтервалу (чи півпроміжку) твердження, аналогічне першій теоремі Веєрштрасса, вже хибне, тобто з неперервності функції на інтервалі (півпроміжку) вже не випливає обмеженість цієї функції на вказаній множині.

Наприклад, розглянемо функцію $f(x)=1/x$ на інтервалі $(0,1)$. Ця функція на вказаному інтервалі неперервна, але необмежена, оскільки існує послідовність точок $x_{n}=1/n$ $(n=2,3,...)$, які належать вказаному інтервалу, така, що відповідна послідовність значень функції ${f(x_{n})}={n}$ є нескінченно великою.

Див. також

• Теорема Веєрштрасса — Стоуна

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Завало С. Т. (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа. с. 462. (укр.)
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. — 7-е. — М : Физматлит, 2004. — Т. 1. — 644 с. — ISBN 5-9221-0536-1.(рос.)