Перша теорема Вейєрштрасса

Перша теорема Вейєрштрасса доводить обмеженість неперервної функції на замкненому проміжку.

Маршал Стоун значно узагальнив теорему у 1937 році та спростив доказ у 1948 році. Цей результат відомий тепер як теорема Стоуна-Вейєрштрасса.

Зміст

1 Формулювання теореми
2 Доведення
- 2.1 Зауваження
3 Див. також
4 Література

Формулювання теореми [ред.]

Якщо функція $\!f(x)$ неперервна на проміжку $\![a, b]$ , то вона обмежена на цьому проміжку.

Доведення [ред.]

Доведемо, що функція $\!f(x)$ обмежена зверху на проміжку $\![a, b]$ (обмеженість знизу доводиться аналогічно).

Припустимо супротивне, тобто припустимо, що $\!f(x)$ не є обмеженою на проміжку $\![a, b]$ .

Тоді для будь-якого натурального числа $\!n$ $(\!n=1,2,...)$ знайдеться хоча б одна точка $\!x_n$ з проміжка $\![a, b]$ така, що $\!f(x_n)>n$ (інакше $\!f(x)$ була б обмежена зверху на проміжку $\![a, b]$ ).

Таким чином, існує послідовність значень $\!x_n$ з проміжка $\![a, b]$ така, що відповідна їй послідовність значень функції $\!{f(x_n)}$ є нескінченно великою. В силу теореми Больцано-Вейєрштрасса, з послідовності $\!{x_n}$ можна виділити підпослідовність, яка збігається до точки $\!c$ , що належить $\![a, b]$ . Позначемо цю послідовність симовлом $\!{x_k}$ , $\!(k_n)$ $(\!n=1,2,...)$ . В силу неперервності функції $\!f(x)$ у точці $\!c$ відповідна підпослідовність значень функції $\!{f(x_k)}$ повинна збігатися до $\!{f(c)}$ . Але це неможливо, оскільки підпослідовність $\!{f(x_k)}$ , яку виділено з послідовності $\!{f(x_n)}$ , сама є нескінченно великою. Отже, наше припущення про необмеженість хибне.

Теорему доведено.

Зауваження [ред.]

Для інтервалу (чи півпроміжка) твердження, аналогічне першій теоремі Вейєрштрасса, вже хибне, тобно з неперервності функції на інтервалі (півпроміжку) вже не слідує обмеженість цієї функції на вказаній множині.

Наприклад, розглянемо функцію $\!f(x)=1/x$ на інтервалі $\!(0,1)$ . Ця функція на вказаному інтервалі неперервна, але необмежена, оскільки існує послідовність точок $\!x_n=\!1/n$ $(\!n=2,3,...)$ , які належать вказаному інтервалу, така, що відповідна послідовність значень функції $\!{f(x_n)}=\!{n}$ є нескінченно великою.