Теорема Веєрштрасса — Стоуна

Теорема Веєрштрасса — Стоуна — твердження про можливість подання будь-якої неперервної функції на гаусдорфовому компакті границею рівномірно збіжної послідовності неперервних функцій особливого класу — алгебри Стоуна^[⇨].

Спочатку сформулював і довів 1885 року Карл Веєрштрасс для неперервних на відрізку дійсної прямої функцій, встановивши можливість їх рівномірно наблизити послідовністю многочленів^[⇨]. 1937 року Маршалл Стоун істотно узагальнив результат^[⇨], поширивши результат на функції, неперервні на довільному T₂- відокремлюваному компактному просторі, що утворюють кільце, а як рівномірно збіжні послідовності функцій замість многочленів — функції зі специфічного підкласу неперервних функцій, що утворює підкільце.

Пізніше знайдено й інші узагальнення результату^[⇨].

Теорема Веєрштрасса

Нехай $f$ — неперервна функція, визначена на відрізку $[a,b]$. Тоді для будь-якого $\varepsilon >0$ існує такий многочлен $p$ з дійсними коефіцієнтами, що для всіх $x$ із $[a,\;b]$ одночасно виконано умову $|f(x)-p(x)|<\varepsilon$.

Якщо $f(x)$ неперервна на крузі (періодична), то твердження істинне і для тригонометричних многочленів.

Теорема справедлива і для комплекснозначних функцій, але тоді коефіцієнти многочлена $p$ слід вважати комплексними числами.

Схема доведення Веєрштрасса

Теорему встановив Карл Веєрштрасс 1885 року як наслідок загальнішого твердження: для дійсних усюди визначених неперервних функцій $f(x)$ і $\psi (x)$, абсолютне значення яких не перевищує деякої межі, притому $\psi (x)$ ніде не змінює свого знака і задовольняє рівності $\psi (-x)=\psi (x)$ і для неї збігається інтеграл:

$\int \limits _{0}^{\infty }\psi (x)dx=\omega$,

виконується:

$f(x)=\lim \limits _{k\to 0}{\frac {1}{2k\omega }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi \left({\frac {x-y}{k}}\right)f(y)dy$.

З прямого доведення зразу випливає, що границя не тільки існує і дорівнює $f(x)$, але й що збіжність рівномірна за $x$, що змінюється на будь-якому скінченному відрізку.

Взявши як $\psi (x)=e^{-x^{2}}$, кожна функція з сімейства:

$F_{k}(x)={\frac {1}{2k\omega }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi \left({\frac {x-y}{k}}\right)f(y)dy$

цілком визначена за всіх комплексних $x$ і є цілою. Тому їх можна рівномірно в крузі будь-якого радіусу наблизити многочленами (теорема Абеля). Звідси зразу випливає, що будь-яку неперервну функцію $f(x)$ можна рівномірно наблизити многочленами на будь-якому скінченному інтервалі.

Якщо до того ж $f(x)$ — періодична функція з періодом $T$, то функції $F_{k}(x)$ є цілими періодичними функціями. Але тоді:

$F_{k}\left({\frac {T}{2\pi i}}\ln z\right)$

є однозначною і голоморфною функцією в області $z\not =0$ і, отже, розкладається в ряд Лорана:

$F_{k}=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}z^{n}=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\exp {\left({\frac {2\pi }{T}}inx\right)}$,

тож $F_{k}(x)$, а значить і $f(x)$ можна наблизити тригонометричними многочленами.

Значення результату Веєрштрасса

У середині XIX століття уявлення про функцію як аналітичний вираз здавалося повністю застарілим, а формований на базі інтегрального і диференціального числення аналіз оперував довільними функціями, так, Герман Ганкель особливо відзначав: «про функцію $y$ від $x$ кажуть, коли кожному значенню змінної $x$, [що лежить] всередині деякого інтервалу, відповідає певне значення $y$; при цьому не суттєво, чи залежить $y$ від $x$ у всьому інтервалі за одним законом, і чи можна цю залежність виразити за допомогою математичних операцій», підкреслюючи, що не кожну функцію можна подати за допомогою аналітичного виразу. У відповідь на це Веєрштрасс і написав роботу «Про аналітичне подання так званих довільних функцій», в якій показано, що довільна неперервна функція є границею многочленів. Надалі з'ясувалося, що й самі «патологічні» функції, наприклад, функція Діріхле, допускають такого роду подання, але лише з великим числом граничних переходів.

Топологічні наслідки

Згідно з теоремою Вейєрштрасса простір неперервних дійсно- або комплекснозначних функцій на відрізку з рівномірною нормою сепарабельний: простір многочленів з раціональними або комплексно-раціональними коефіцієнтами є зліченним усюди щільним підпростором.

Узагальнення Стоуна

1935 року Стоун довів, що будь-яку функцію з кільця $C(K)$ неперервних на гаусдорфовому компакті $K$ дійснозначних функцій можна рівномірно наблизити функціями спеціального класу — які складають алгебру Стоуна, тобто будь-яка алгебра Стоуна $C_{0}$ є всюди щільною в просторі неперервних функцій на компакті: ${\overline {C_{0}}}=C(K)$. Як норма рівномірної збіжності на $C(K)$ береться $\|f\|=\max \limits _{x\in K}|f(x)|$, а алгебра Стоуна визначається як підалгебра $C_{0}\subseteq C(K)$, елементи якої розділяють точки $K$.

Точніше, алгебра Стоуна $C_{0}$ — це множина функцій із кільця $C(K)$, що задовольняє таким умовам:

1. разом з будь-якими її елементами $f,g\in C_{0}$ в алгебру Стоуна входять елементи: $cf$ ($c\in \mathbb {R}$), $f+g$, $fg$;
2. алгебра Стоуна містить сталу функцію $1$;
3. для кожної пари різних точок $x_{1},x_{2}\in K$ знайдеться хоча б одна функція $f\in C_{0},$ така, що $f(x_{1})\neq f(x_{2})$.

Подальші узагальнення

Існує серія узагальнень теореми Веєрштрасса — Стоуна в різних напрямках. Наприклад, за теоремою Мергеляна будь-яку функцію, неперервну на будь-якому компакті зі зв'язним доповненням на комплексній площині і голоморфну в його внутрішніх точках можна рівномірно наблизити комплексними многочленами. Також знайдено узагальнення, що дозволяють замість гаусдорфового компакта розглядати функції, неперервні на довільному тихоновському просторі.

Див. також

• Поліноми Бернштейна

Література

• [{{{посилання}}} Теорема Веєрштрасса — Стоуна] — стаття з Математичної енциклопедії. В. І. Пономарьов
• Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. — М. : Наука, 1977. — 512 с.