Потенціал Ліенара — Віхерта

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Потенціа́ли Ліена́ра — Ві́херта — вирази для потенціалів електромагнітного поля заряду, що рухається відомою траєкторією.

При зміні положення заряду збурення електромагтіних полів згідно з принципом причинності досягає точки спостереження тільки через певний відрізок часу. В момент часу t спостерігач відчуватиме положення заряду в момент часу t^\prime.  t -t^\prime  — це проміжок часу, необхідний для того, щоб електромагнітне поле подолало віддаль між зарядами.

 t - t^\prime = \frac{R(t^\prime)}{c} ,

де R(t^\prime)  — віддаль між спостерігачем і зарядом у момент часу  t^\prime , c — швидкість світла в порожнечі.

Якби заряд не рухався, то навколо нього створювалося б лише електричне поле згідно із законом Кулона. Навколо рухомого заряду створюється електричне й магнітне поле. Потенціали цих полів визначаються формулами [1]

 \varphi = \frac{q}{R - \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{R}}{c}}, 
\qquad \mathbf{A} = \frac{q \mathbf{v}} {c \left( R - \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{R}}{c} \right)},

де  \varphi  — потенціал електичного поля,  \mathbf{A}  — векторний потенціал,  \mathbf{v}  — швидкість зарядженої частинки, q — її заряд. Усі вирази в правих частинах повинні братися в момен часу  t^\prime .

Ці вирази для потенціалів називаються потенціалами Ліенара-Віхерта. У випадку нерухомого заряду електричний потенціал збігається з кулонівським, магнітний — дорівнює нулю.

Отримання виразів для потенціалів[ред.ред. код]

Рівняння Максвелла, в силу відповідного постулату, не залежать від прискорення заряда. Окрім цього, вирази для векторного і скалярного потенціалів, отримані у минулому розділі, також від прискорення не залежать. Проте вирази для векторів-характеристик поля від прискорення залежать. Інтегральні вирази для потенціалів (розв'язки рівняння д'Аламбера) враховують прискорення заряда через "запізнення" розповсюдження взаємодії. Дійсно, із загальних інтегралів для потенціалів можна отримати:

\ \varphi = \frac{Q}{R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c}}, \quad \mathbf A = \frac{Q \mathbf v }{c\left(R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c}\right)} \qquad (.1),

де \ \mathbf R = \mathbf R ( T ) = \mathbf x - \mathbf x_{0}(T ) , \quad T: t - \tau - \frac{|\mathbf R (\tau )|}{c} = 0.

Отримані вирази для потенціалів можуть бути використані для отримання виразу для напруженості електричного поля та індукції магнітного поля у випадку заряду, що довільно рухається.

Напруженості полів[ред.ред. код]

Для напруженості електричного поля  \mathbf{E} й вектора магнітної індукції  \mathbf{B} потенціали Ліенара-Віхерта дають

 E = q \frac{1 - v^2/c^2}{ \left( R - \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{R} }{c} \right)^3} \left( \mathbf{R} - \frac{\mathbf{v}}{c}R \right) 
+ \frac{q}{c^2\left( R - \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{R} }{c} \right)^3} 
\left[ \mathbf{R}, \left[ \mathbf{R} - \frac{\mathbf{v}}{c}R, \dot{\mathbf{v}} \right] \right]
 \mathbf{B} = \frac{1}{R}[\mathbf{R}, \mathbf{E}]

Особливістю виразів для полів є те, що вони залежать не лише від швидкості частинки, а й від її прискорення. Та частина, що залежить від прискорення відповідає за випромінювання електромагнітних хвиль. Іншою особливістю є те, що електричне й поле завжди перпендикулярні одне до іншого.

Отримання виразів для полів[ред.ред. код]

Для подальших викладок знадобиться вираз

\ \gamma \left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R)}{c} \right) = \sqrt{X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf X \cdot \mathbf v )^{2}} \qquad (.2).

Вираз для напруженості поля можна отримати безпосередньо за допомогою явних виразів для потенціалів Лієнара-Віхерта. Як відомо, вираз для напруженості електричного поля через компоненти 4-потенціалу рівний

\ \mathbf E = -\nabla \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t } \qquad (.3).

Проте перед тим, як безпосередньо визначити вираз для напруженості поля, потрібно перейти від змінних \ t, \mathbf x до змінної \ T, оскільки самі потенціали (а точніше - \ \mathbf v , \mathbf R  ) залежать від \ T:

\ \frac{\partial t}{\partial T} = \frac{R}{R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}}, \quad \frac{\partial T}{\partial \mathbf x} = - \frac{\mathbf R}{c\left( R - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c} \right)} \qquad (.4).

Тоді для напруженості поля \ \mathbf E можна отримати

\ \mathbf E = \frac{Q \left( \mathbf R - \frac{\mathbf v}{c}R\right) \left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)}{\left( R - \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )}{c}\right)^{3}} + \frac{Q}{c^{2}}\frac{\left[ \mathbf R \times \left[ \left(\mathbf R - \frac{\mathbf v}{c}R\right) \times \mathbf a \right]\right]}{\left( R - \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v )}{c}\right)^{3}},

або, з урахуванням виразу \ (.2) і введеного вектора \ \mathbf X = \mathbf R - \frac{\mathbf v}{c}R,

\ \mathbf E = \frac{Q\gamma \mathbf X}{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X )^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{c^{2}}\frac{\gamma^{3}[\mathbf R \times [\mathbf X \times \mathbf a]]}{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X )^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}.

Вираз для індукції поля можна отримати безпосередньо з інтегральних виразів для запізнювальних потенціалів, що, можливо (!), значно спростить викладки.

При введенні фіктивного інтегрування по змінній \ \tau (див. попередній підрозділ) векторний потенціал має вигляд

\ \mathbf A (\mathbf R , T) = \frac{1}{c}\int \frac{Q \mathbf v (\tau ) \delta \left(t - \tau - \frac{|\mathbf x - \mathbf x_{0} (\tau )|}{c}\right)d\tau}{|\mathbf z - \mathbf x_{0} (\tau)|}.

Тоді для \ \mathbf B = [\nabla \times \mathbf A ] можна отримати

\ \mathbf B = Q\frac{\left[\mathbf R \times \left( \frac{\mathbf R}{R} - \frac{\mathbf v}{c} \right)\right]\left( 1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}\right)}{\left( R  - \frac{(\mathbf v \cdot \mathbf R )}{c}\right)^{3}} + \frac{Q}{c^{2}}\frac{\left[ \mathbf R \times \left[ \mathbf R \times \left[ \left( \frac{\mathbf R}{R} - \frac{\mathbf v }{c} \right) \times \mathbf a \right]\right]\right] }{\left( R - \frac{(\mathbf v  \cdot \mathbf R )}{c} \right)^{3}} = \left[ \frac{\mathbf R}{R} \times \mathbf E \right],

або, з урахуванням виразу \ (.2),

\ \mathbf B = Q\gamma \frac{\left[\frac{\mathbf R}{R} \times \mathbf X \right]}{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X )^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q \gamma^{3}}{c^{2}}\frac{\left[ \frac{\mathbf R}{R} \times \left[ \mathbf R \times \left[ \mathbf X  \times \mathbf a \right]\right]\right] }{\left( X^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v \cdot \mathbf X )^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}.

Джерела[ред.ред. код]

  • Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1974). Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля. Москва: Наука. 

Примітки[ред.ред. код]

  1. Формули на цій сторінці записані в системі СГС (СГСГ). Для перетворення в систему СІ дивись Правила переводу формул із системи СГС в систему СІ.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.