Потенціал Ліенара — Віхерта

Потенціа́ли Ліена́ра — Ві́херта — вирази для потенціалів електромагнітного поля заряду, що рухається відомою траєкторією.

При зміні положення заряду збурення електромагтіних полів згідно з принципом причинності досягає точки спостереження тільки через певний відрізок часу. В момент часу t спостерігач відчуватиме положення заряду в момент часу $t^\prime$. $t -t^\prime$ — це проміжок часу, необхідний для того, щоб електромагнітне поле подолало віддаль між зарядами.

$t - t^\prime = \frac{R(t^\prime)}{c}$,

де $R(t^\prime)$ — віддаль між спостерігачем і зарядом у момент часу $t^\prime$, c — швидкість світла в порожнечі.

Якби заряд не рухався, то навколо нього створювалося б лише електричне поле згідно із законом Кулона. Навколо рухомого заряду створюється електричне й магнітне поле. Потенціали цих полів визначаються формулами

$\varphi = \frac{q}{R - \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{R}}{c}}, \qquad \mathbf{A} = \frac{q \mathbf{v}} {c \left( R - \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{R}}{c} \right)},$

де $\varphi$ — потенціал електичного поля, $\mathbf{A}$ — векторний потенціал, $\mathbf{v}$ — швидкість зарядженої частинки, q — її заряд. Усі вирази в правих частинах повинні братися в момен часу $t^\prime$.

Ці вирази для потенціалів називаються потенціалами Ліенара-Віхерта. У випадку нерухомого заряду електричний потенціал збігається з кулонівським, магнітний — дорівнює нулю.

Отримання виразів для потенціалів

Рівняння Максвелла, в силу відповідного постулату, не залежать від прискорення заряда. Окрім цього, вирази для векторного і скалярного потенціалів, отримані у минулому розділі, також від прискорення не залежать. Проте вирази для векторів-характеристик поля від прискорення залежать.

Це видно із наступного.

Можна векторно домножити роторне рівняння для напруженості на оператор набла: $\ [\nabla \times [\nabla \times \mathbf E]] = \nabla (\nabla \cdot \mathbf E) - \Delta \mathbf E = -\frac{1}{c}\left[\nabla \times\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}\right] = |[\nabla \times \mathbf B] = \frac{4 \pi \mathbf j}{c} + \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf E}{\partial t}| = -\frac{1}{c}\left(\frac{4\pi}{c}\frac{\partial^{2} \mathbf j}{\partial t^{2}} +\frac{1}{c}\frac{\partial^{2} \mathbf E}{\partial t^{2}} \right) \Rightarrow$

$\ \Rightarrow \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2} \mathbf E}{\partial t^{2}} - \Delta E = \frac{4\pi}{c^{2}}\frac{\partial^{2} \mathbf j}{\partial t^{2}} - 4 \pi \nabla \rho$.

Отже, рівняння для $\ \mathbf E$ має вигляд рівняння д'Аламбера, проте зправа стоїть похідна по часу від вектора струму. Це призводить до залежності напруженості від прискорення. Аналогічне можна отримати і для індукції магнітного поля.

Якісне пояснення цього полягає у наступному. Значення потенціалів поля співпадають для заряду, що рухається прискорено, і заряду, що рухається рівномірно, у момент часу $\ T$ за умови, що вони знаходяться на одній відстані від спостерігача (відстань відповідає часу запізнення) і рухаються із однаковою за модулем і вектором швидкістю. Проте у наступні моменти часу траєкторії таких зарядів розходяться, а це означає, що чисто формально похідні по часу, градієнти та ротори від потенціалів (що відповідає визначенню індукції і напруженості через потенціали) будуть вже відрізнятися від зарядів, що рухаються прискорено. Це еквівалентно твержденню про те, що значення похідних і часу запізнення у момент часу $\ T$ для обох зарядів співпадають, проте залежність часу $\ T$ від часу $\ t$ різна. Таким чином, можна побудувати спочатку вираз для потенціалу заряда, що рухається рівномірно, з урахуванням запізнення, різна, оскільки за час запізнення заряд, що рухається рівномірно, і заряд, що рухається прискорено, проходять різні траєкторії.

Вирази для потенціалів, записані через інтеграли (розв'язки рівнянь д'Аламбера для потенціалів), враховують прискорення заряда через запізнення. Дійсно, із загальних інтегралів від потенціалів можна отримати:

$\ \varphi = \frac{Q}{R - \frac{(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R)}{c}}, \quad \mathbf A = \frac{Q \mathbf v(T)}{c\left(R - \frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R)}{c}\right)} \qquad (.1)$.

Доведення.

Нехай, наприклад, розглядається інтеграл для $\ \varphi$:

$\ \varphi (\mathbf x , t) = \int \frac{\rho (r, t - \frac{|\mathbf x - \mathbf r|}{c})d^{3}\mathbf r}{|\mathbf x - \mathbf r|} = \int \int \frac{\rho (\mathbf r, t) d^{3}\mathbf r}{|\mathbf x - \mathbf r|}\delta \left(t - T - \frac{|\mathbf x - \mathbf r|}{c}\right)dt = \int \frac{Q \delta \left(t - T - \frac{|\mathbf x - \mathbf r (T)|}{c}\right)dT}{|\mathbf x - \mathbf r (t)|}$.

Використовуючи властивість дельта-функції від складного аргументу (доведення диф. у розділі "Додаткові матеріали"),

$\ \delta (f(T)) = \frac{\delta (t - t_{0})}{\left|\frac{d f(t)}{dt}\right|_{T = t_{0}}}$,

де $\ t_{0}$ - розв'язок рівняння $\ f(T) = 0,$, можна, користуючись

$\ \frac{d |\mathbf r (T)|}{dT} = \frac{d\sqrt{(\mathbf r \cdot \mathbf r)}}{dT} = \frac{1}{2r}2\left(\frac{d \mathbf r}{dT}\cdot \mathbf r\right) = \frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf r)}{r}$,

отримати:

$\ f(t) = T - t + \frac{|\mathbf x - \mathbf r (T)|}{c}, \quad \frac{df(T)}{dT} = \frac{d}{dT}\left(T - t + \frac{|\mathbf x - \mathbf r (T)|}{c}\right) = 1 - \frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf x - \mathbf r)}{c|\mathbf x - \mathbf r|} = |\mathbf R (T) = \mathbf x - \mathbf r(T)| = \frac{R - \frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf r )}{c}}{R}$.

Отже, сам інтеграл набуде вигляду

$\ \varphi = \int \frac{Q\delta (t - t_{0})R dt}{R\left( R - \frac{(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R)}{c}\right)} = \frac{Q}{R - \frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R)}{c}}$.

Зовсім аналогічно - і в випадку з виразом для векторного потенціалу:

$\ \mathbf A = \frac{Q \mathbf v(T)}{c \left( R - \frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R )}{c}\right)}$.$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Отримані вирази для потенціалів вже можуть бути використані для отримання виразу для напруженості електричного поля та індукції магнітного поля. Проте не зайвим є дещо детальніше з'ясування змісту таких потенціалів на основі альтернативного їх виведення.

Альтернативне виведення.

Отже, користуючись написаним, треба розглянути ідейне побудування задачі знаходження значень векторів-характеристик полів в залежності від прискорення. Нехай є деякий момент часу $\ T$ і заряд, що рухається із змінною швидкістю $\ \mathbf v = \mathbf v (T)$, причому $\ \mathbf R$ - радіус-вектор від точки спостерігача до положення заряду у цей момент часу. Нехай також є момент часу $\ t$, для якого $\ \mathbf v = \mathbf v (t)$. Нехай вектор $\ \mathbf R$ обрано таким, що сигнал від першого положення заряду пройде відстань, рівну модулю вектора, за момент часу $\ t - T$.

В силу написаного в першому абзаці, заряд, що рухається із прискоренням у момент часу $\ T, \mathbf v = \mathbf v (T)$, не відрізняється (у плані визначення потенціалів поля) від заряду, співпадаючого з ним у минулому заряду у момент часу $\ t, \mathbf v = \mathbf v (t)$. Це означає, що, маючи значення виразу для потенціалу заряду, що рівномірно рухається у момент часу $\ T$, можна отримати його, з урахуванням іншої функціональної залежності радіус-вектору і швидкості від часу, і для заряду, що рухається прискорено.

Із геометричних міркувань, наведених на рисунку, і із міркувань, наведених вище, слідує, що

$\ \mathbf r = \mathbf R - \frac{\mathbf v(T)R}{c}, \quad R = \frac{(t - T)}{c}, \quad \mathbf R = \mathbf x - \mathbf x_{0}(T), \quad \quad R = \frac{(t - T)}{c} = \sqrt{|\mathbf x - \mathbf x_{0}(T)|^{2}}$.

Окрім того, можна довести, що

$\ \gamma \left( R - \frac{(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R)}{c} \right) = \sqrt{r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf r \cdot \mathbf v(T))^{2}} \qquad (.2)$.

Доведення.

$\ \gamma^{2} \left( R - \frac{(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R)}{c} \right)^{2} = \gamma^{2}R^{2} - 2 \gamma^{2}\frac{(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R)}{c}R + \frac{(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R)^{2}}{c^{2}} = r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v (T) \cdot \mathbf r)^{2} = \left|\mathbf r = \mathbf R - \frac{\mathbf v(T)R}{c} \right| =$

$\ = R^{2} - 2 \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v (T))}{c^{2}} + \frac{u^{2}R^{2}}{c^{2}} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}\left( (\mathbf v(T) \cdot \mathbf r) - \frac{v(T)^{2}R}{c}\right)^{2} =$

$\ = R^{2} - 2 \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v (T))}{c^{2}} + \frac{u^{2}R^{2}}{c^{2}} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R)^{2} - 2 \frac{\gamma^{2}}{c^{3}}(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R)v(T)^{2} R + \frac{\gamma^{2}}{c^{4}}v(T)^4 R^2 \Rightarrow$

$\ \Rightarrow \left| R^{2} + \frac{R^{2}v(T)^{2}}{c^{2}} + \gamma^{2}\frac{v(T)^{4}R^{2}}{c^{4}} = R^{2}\left(1 + \frac{u^{2}}{c^{2}}\left(1 + \frac{u^{2}}{c^{2}}\gamma^{2} \right)\right) = R^{2}\left( 1 + \gamma^{2}\frac{v(T)^{2}}{c^{2}}\right) = R^{2}\gamma^{2}\right| \Rightarrow$

$\ \Rightarrow -2 \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v(T))}{c}R - 2\frac{\gamma^{2}}{c^{3}}(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R )v(T)^{2}R = -2 \frac{\gamma^{2}}{c}(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R) R \Rightarrow -2\frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R)}{c}R\left(1 + \gamma^{2}\frac{v(T)^{2}}{c^{2}}\right) = -2\frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R)}{c}R \Rightarrow 0 = 0$.$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Далі, для заряду, що рівномірно рухається, відносно його ІСВ справедливі наступні вирази для потенціалів:

$\ \varphi ' = \frac{Q}{r'} = \frac{Q}{\sqrt{r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v(T) \cdot \mathbf r )^{2}}}, \quad \mathbf A ' = 0$,

де штриховані вирази записані для того, щоб використати обернені перетворення Лоренца для потенціалів. Дійсно, маючи вищенаведені вирази, просто отримати, що

$\ \mathbf A = \mathbf A ' + \frac{\Gamma}{c^{2}}\mathbf v (T)(\mathbf A ' \cdot \mathbf v (T)) + \frac{\gamma \varphi '}{c}\mathbf v (T) = \frac{\gamma Q \mathbf v(T)}{c \sqrt{r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v(T) \cdot \mathbf r )^{2}}} = |(.2)| = \frac{Q \mathbf v (T)}{c \left( R - \frac{(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R)}{c} \right)}$,

$\ \varphi = \gamma \left( \varphi ' + \frac{(\mathbf A ' \cdot \mathbf v (T))}{c}\right) = \gamma \varphi ' = |(.2)| = \frac{Q}{R - \frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R)}{c}}$,

що співпадає з $\ (.1)$.$\$$\$$\$$\$

Напруженості полів

Для напруженості електричного поля $\mathbf{E}$ й вектора магнітної індукції $\mathbf{B}$ потенціали Ліенара-Віхерта дають

$E = q \frac{1 - v^2/c^2}{ \left( R - \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{R} }{c} \right)^3} \left( \mathbf{R} - \frac{\mathbf{v}}{c}R \right) + \frac{q}{c^2\left( R - \frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{R} }{c} \right)^3} \left[ \mathbf{R}, \left[ \mathbf{R} - \frac{\mathbf{v}}{c}R, \dot{\mathbf{v}} \right] \right]$

$\mathbf{B} = \frac{1}{R}[\mathbf{R}, \mathbf{E}]$

Особливістю виразів для полів є те, що вони залежать не лише від швидкості частинки, а й від її прискорення. Та частина, що залежить від прискорення відповідає за випромінювання електромагнітних хвиль. Іншою особливістю є те, що електричне й поле завжди перпендикулярні одне до іншого.

Отримання виразів для напруженостей полів

Для знаходження явного виразу для напруженості електричного поля можна застосувати вираз для неї через скалярний і векторний потенціали:

$\ \mathbf E = -\nabla \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t } \qquad (.3)$.

Проте перед тим, як безпосередньо визначити вираз для напруженості поля, потрібно перейти від змінної $\ t, \mathbf x$ до змінної $\ T$, оскільки самі потенціали залежать від $\ T$:

$\ \frac{\partial t}{\partial T} = \frac{R}{R - \frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R )}{c}}, \quad \frac{\partial T}{\partial \mathbf x} = - \frac{\mathbf R}{c\left( R - \frac{(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R )}{c} \right)} \qquad (.4)$.

Доведення.

$\ t = T + \frac{\sqrt{(\mathbf x - \mathbf x_{0}(T))^{2}}}{c} \Rightarrow dT = dt - d\frac{\sqrt{(\mathbf x - \mathbf x_{0}(T))^{2}}}{c}$.

Далі - треба здійснити перехід від змінної $\ t$ до двох змінних $\ T, \mathbf x$. Враховуючи, що

$\ \frac{\partial}{\partial \mathbf x}(\mathbf x - \mathbf x_{0}(T))^{2} = 2 \left( (\mathbf x - \mathbf x_{0}(T)), \frac{\partial}{\partial \mathbf x}(\mathbf x - \mathbf x_{0}(T))\right) = 2 \mathbf R , \quad \frac{\partial }{\partial T} (\mathbf x - \mathbf x_{0}(T))^{2} = -2 (\mathbf v(T) \cdot \mathbf R )$,

можна записати:

$\ dt = dT + \frac{1}{c}\left(\frac{\partial }{\partial \mathbf x}\sqrt{(\mathbf x - \mathbf x_{0}(T))^{2}}d \mathbf x + \frac{\partial }{\partial T}\sqrt{(\mathbf x - \mathbf x_{0}(T))^{2}}dT\right) = dT + \frac{1}{c}\left( \frac{(\mathbf R \cdot d \mathbf x ) - (\mathbf v(T) \cdot \mathbf R ) dT}{R}\right) \Rightarrow dT = \frac{Rdt - \frac{(\mathbf R \cdot d \mathbf x)}{c}}{R - \frac{(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R )}{c}}$.

Звідси очевидно, що

$\ \frac{\partial T}{\partial t} = \frac{R}{R - \frac{(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R)}{c}}, \quad \frac{\partial T}{\partial \mathbf x} = -\frac{\mathbf R}{c\left( R - \frac{(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R )}{c}\right)}$.

Тоді для напруженості поля $\ \mathbf E = \mathbf E (\mathbf r , \mathbf v , \mathbf a)$ можна отримати:

$\ \mathbf E = \frac{Q\gamma \mathbf r}{\left( r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v (T) \cdot \mathbf r )^{2} \right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{c}\frac{Q\gamma^{3}[\mathbf R \times [\mathbf r \times \mathbf a]]}{\left( r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v (T) \cdot \mathbf r )^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}$.

Доведення.

Користуючись $\ (.1)-(.4)$, можна записати:

$\ \nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial \mathbf x} + \frac{\partial \varphi }{\partial T}\frac{\partial T}{\partial \mathbf x} \right) = Q \left[ \frac{\partial }{\partial \mathbf x}\left(\frac{1}{\sqrt{(\mathbf x - \mathbf x_{0} (T))^{2}} - \frac{\mathbf v(T)}{c}(\mathbf x - \mathbf x_{0} (T))}\right) - \left( \frac{\mathbf R}{c\left( R - \frac{(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R )}{c} \right)}\left( -\frac{-\frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v(T))}{R} - \frac{(\mathbf a \cdot \mathbf R)}{c} + \frac{\mathbf v^{2}}{c}}{\left( R - \frac{(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R)}{c}\right)^{2}}\right)\right)\right] =$

$\ = Q\left[ -\frac{\frac{\mathbf R}{R} - \frac{\mathbf v (T)}{c}}{\left( R - \frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R )}{c}\right)^{2}} + \frac{\mathbf R \left( -\frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v(T))}{R} - \frac{(\mathbf a \cdot \mathbf R)}{c} + \frac{\mathbf v^{2}}{c}\right)}{c\left( R - \frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R)}{c}\right)^{3}}\right] =$

$\ = -\frac{Q}{\left( R - \frac{(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R)}{c}\right)^{3}}\left[ \mathbf R - \frac{\mathbf R (\mathbf v(T) \cdot \mathbf R)}{cR} - \frac{\mathbf v (T)}{c}R + \frac{\mathbf v (T)}{c^{2}}(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R) + \frac{\mathbf R}{c}\frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R)}{R} - \frac{\mathbf R v (T)^{2}}{c^{2}} + \frac{\mathbf R}{c^{2}}(\mathbf a \cdot \mathbf R)\right] = |(.2)| =$

$\ = -\frac{Q\gamma^{3}}{\left( r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf r \cdot \mathbf v(T))^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[ \mathbf R - \frac{\mathbf v (T)}{c}R + \frac{\mathbf v (T)}{c^{2}}(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R) - \frac{\mathbf R \mathbf v (T)^{2}}{c^{2}} + \frac{\mathbf R}{c^{2}}(\mathbf a \cdot \mathbf R)\right]$.

Аналогічно, для $\ \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}$ можна отримати, що

$\ \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t} = \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial T}\frac{\partial t}{\partial T} = -\frac{1}{c}\frac{QR}{R - \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v (T))}{c}}\frac{d}{dT}\left(\frac{\mathbf v (T)}{ c \left( R - \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v (T))}{c}\right)}\right) =$

$\ = \frac{QR}{c\left( R - \frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R)}{c}\right)}\left[ \frac{\mathbf a}{c\left( R - \frac{(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R)}{c} \right)} - \left( \mathbf v(T)\frac{-\frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R)}{R} - \frac{(\mathbf a \cdot \mathbf R)}{c} + \frac{\mathbf v^{2}}{c^{2}}}{\left( R - \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v (T))}{c}\right)^{2}} \right) \right] =$

$\ = -\frac{RQ}{c\left( R - \frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R)}{c} \right)^{3}}\left[ -\mathbf a R + \mathbf a\frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R)}{c} - \mathbf v (T) \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v(T))}{cR} - \frac{\mathbf v (T)}{c^{2}}(\mathbf a \cdot \mathbf R) + \mathbf v\frac{v(T)^{2}}{c^{2}}\right] = |(.2)| =$

$\ = -\frac{Q \gamma^{3}}{\left( r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v(T) \cdot \mathbf r)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[ -\mathbf a \frac{R^{2}}{c} + \mathbf a R \frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R)}{c^{2}} - \mathbf v (T)\frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v(T))}{c^{2}}- \mathbf v (T)\frac{R (\mathbf a \cdot \mathbf R)}{c^{2}} + \mathbf v (T)\frac{R\mathbf v (T)^{2}}{c^{3}} \right]$.

Тоді $\ \mathbf E = -\nabla \varphi - \frac{1}{c}\frac{\partial \mathbf A}{\partial t}$ рівна

$\ \mathbf E = \frac{Q\gamma^{3}}{\left( r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v(T) \cdot \mathbf r)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[ \mathbf R - \frac{\mathbf v (T)}{c}R + \frac{\mathbf v (T)}{c^{2}}(\mathbf v (T) \cdot \mathbf R) - \frac{\mathbf R \mathbf v (T)^{2}}{c^{2}} + \frac{\mathbf R}{c^{2}}(\mathbf a \cdot \mathbf R) \right] +$

$\ + \frac{Q\gamma^{3}}{\left( r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v(T) \cdot \mathbf r)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[-\mathbf a \frac{R^{2}}{c} + \mathbf a R \frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R)}{c^{2}} - \mathbf v (T)\frac{(\mathbf R \cdot \mathbf v(T))}{c^{2}}- \mathbf v (T)\frac{R (\mathbf a \cdot \mathbf R)}{c^{2}} + \mathbf v (T)\frac{R\mathbf v (T)^{2}}{c^{3}} \right] =$

$\ = \frac{Q\gamma^{3}}{\left( r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v(T) \cdot \mathbf r)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\left[ -\frac{\mathbf a}{c}\left((\mathbf R \cdot \mathbf R) - \frac{(\mathbf v(T) \cdot \mathbf R)R}{c} \right) + \frac{(\mathbf R \cdot \mathbf a)}{c}\left( \mathbf R - \frac{\mathbf v(T)R}{c} \right) + \mathbf R \left( 1 - \frac{\mathbf v(T)^{2}}{c^{2}} \right) + \frac{\mathbf v(T)R}{c}\left( \frac{\mathbf v(T)^{2}}{c^{2}} - 1\right)\right] =$

$\ \frac{Q\left( \mathbf R - \frac{\mathbf v(T) R}{c}\right)\gamma^{3}}{\gamma^{2}\left( r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v(T) \cdot \mathbf r)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q\left[\mathbf R \times \left[ \left( \mathbf R - \frac{\mathbf v (T)R}{c}\right) \times \frac{\mathbf a}{c} \right]\right]\gamma^{3}}{\left( r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v(T) \cdot \mathbf r)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = \left| \mathbf r = \mathbf R - \frac{\mathbf v(T)R}{c}\right| = \frac{Q\gamma \mathbf r}{\left( r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v(T) \cdot \mathbf r)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} + \frac{1}{c}\frac{Q\gamma^{3}[\mathbf R \times [\mathbf r \times \mathbf a]]}{\left( r^{2} + \frac{\gamma^{2}}{c^{2}}(\mathbf v (T) \cdot \mathbf r )^{2} \right)^{\frac{3}{2}}}$.$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$$\$

Джерела

• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1974). Теоретическая физика. т. ІІ. Теория поля. Москва: Наука. 

Примітки

Це незавершена стаття з фізики. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.